Seja f(x)=x^{3}+x^{2}+1 definida no intervalo [1,2]. Mostre que existe um número c tal que f\text{(c)}=10.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}+x^{2}+1 definida no intervalo [1,2] e pede para mostrar que existe um número c tal que f\text{(c)}=10.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=x^{3}+x^{2}+1.
  • O intervalo onde a função está definida é [1,2].
  • A meta é provar a existência de c com f\text{(c)}=10.

Passo 2

Vou explicar um conceito que vamos usar: o que significa uma função ser contínua em um intervalo. Uma função g é contínua em um ponto x_{0} se \lim_{x\to x_{0}} g(x)=g(x_{0}). Se isso vale para todo ponto de um intervalo [a,b], dizemos que g é contínua em [a,b]. Polinômios (como o nosso f(x)) são funções que são contínuas em toda parte — isso é um fato básico e muito usado: polinômios não têm saltos nem buracos.
Conclusão deste passo: f é contínua em [1,2] porque f é um polinômio.

Passo 3

Agora calculo os valores de f nas extremidades do intervalo [1,2], pois isso costuma ser útil para argumentos de existência.
Calcule f(1):
f(1)=1^{3}+1^{2}+1=1+1+1=3.
Calcule f(2):
f(2)=2^{3}+2^{2}+1=8+4+1=13.
Portanto temos f(1)=3 e f(2)=13. Observe que 10 está entre esses dois valores, isto é,
f(1)=3<10<13=f(2).

Passo 4

Agora explico o teorema que permite concluir a existência do c: se uma função h é contínua no intervalo [a,b] e k é qualquer número entre h(a) e h(b) (isto é, h(a)\le k\le h(b) ou h(b)\le k\le h(a)), então existe pelo menos um ponto c\in[a,b] tal que h\text{(c)}=k.
Intuição (sem provas formais demais): uma curva contínua que liga o ponto (a,h(a)) ao ponto (b,h(b)) não pode “pular” valores — ela tem que passar por todas as alturas intermedárias. Portanto todo valor entre h(a) e h(b) é atingido por algum ponto entre a e b.

Passo 5

Aplicando exatamente esse teorema ao nosso caso:
  • f é contínua em [1,2] (Passo 2).
  • 10 está entre f(1)=3 e f(2)=13 (Passo 3).
Logo, pelo teorema, existe pelo menos um ponto c\in[1,2] tal que f\text{(c)}=10. Como 10 não é igual a f(1) nem a f(2), esse c na verdade pertence ao intervalo aberto (1,2).

Passo 6

Uma observação adicional útil para a prova: podemos mostrar que esse c é único. Para isso analisamos a derivada de f:
f'(x)=3x^{2}+2x.
Para x\in[1,2] temos f'(x)=x(3x+2). Como x\ge1 e 3x+2>0 nesse intervalo, segue que f'(x)>0 para todo x\in[1,2]. Derivada positiva significa que f é estritamente crescente em [1,2]. Uma função estritamente crescente só pode assumir um dado valor uma única vez, então o c com f\text{(c)}=10 é único.

Resposta

Existe c\in(1,2) tal que f\text{(c)}=10.

Exercícios relacionados