Seja
definida no intervalo
. Mostre que existe um número
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede para mostrar que existe um número
tal que
.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O intervalo onde a função está definida é
. - A meta é provar a existência de
com .
Passo 2
Vou explicar um conceito que vamos usar: o que significa uma função ser contínua em um intervalo. Uma função
é contínua em um ponto
se
. Se isso vale para todo ponto de um intervalo
, dizemos que
é contínua em
. Polinômios (como o nosso
) são funções que são contínuas em toda parte — isso é um fato básico e muito usado: polinômios não têm saltos nem buracos.
Conclusão deste passo:
é contínua em
porque
é um polinômio.
Passo 3
Agora calculo os valores de
nas extremidades do intervalo
, pois isso costuma ser útil para argumentos de existência.
Calcule
:
Calcule
:
Portanto temos
e
. Observe que
está entre esses dois valores, isto é,
Passo 4
Agora explico o teorema que permite concluir a existência do
: se uma função
é contínua no intervalo
e
é qualquer número entre
e
(isto é,
ou
), então existe pelo menos um ponto
tal que
.
Intuição (sem provas formais demais): uma curva contínua que liga o ponto
ao ponto
não pode “pular” valores — ela tem que passar por todas as alturas intermedárias. Portanto todo valor entre
e
é atingido por algum ponto entre
e
.
Passo 5
Aplicando exatamente esse teorema ao nosso caso:
-
é contínua em (Passo 2). -
está entre e (Passo 3).
Logo, pelo teorema, existe pelo menos um ponto
tal que
. Como
não é igual a
nem a
, esse
na verdade pertence ao intervalo aberto
.
Passo 6
Uma observação adicional útil para a prova: podemos mostrar que esse
é único. Para isso analisamos a derivada de
:
Para
temos
. Como
e
nesse intervalo, segue que
para todo
. Derivada positiva significa que
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente só pode assumir um dado valor uma única vez, então o
com
é único.
Resposta
Existe
tal que
.