Para cada item a seguir, determine a lei de formação da função composta (f \circ g)(x) e o conjunto de pontos em que ela é contínua:
f(x)=|x-5| e g(x)=\sqrt{x-3}

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções e pede a função composta e o conjunto onde ela é contínua. Informações fornecidas:
  • f(x)=|x-5|.
  • g(x)=\sqrt{x-3}.
O que é pedido:
  1. Determinar a lei de formação de (f\circ g)(x).
  2. Determinar o conjunto de pontos onde (f\circ g) é contínua.

Passo 2

Encontrar o domínio de g, que é relevante para a composição. A função quadrada de raiz exige que o radicando seja não-negativo. Logo:
x-3\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x\ge 3.
Portanto o domínio de g é [3,\infty).
Para a função composta f\circ g precisamos de x tais que x esteja no domínio de g e g(x) esteja no domínio de f. Como o domínio de f é todo \mathbb{R} (valor absoluto está definido para todo real), a única restrição vem de g. Assim o domínio natural de (f\circ g) é
\mathrm{dom}(f\circ g) = [3,\infty).

Passo 3

Calcular a lei de formação por substituição: (f\circ g)(x)=f(g(x)). Substituindo g(x) em f:
(f\circ g)(x)=\bigl|\,g(x)-5\bigr| = \bigl|\,\sqrt{x-3}-5\bigr|.
Esta é a forma direta e correta da composição. Vou agora transformar essa expressão numa forma sem valor absoluto, por partes, para entender melhor.

Passo 4

Para remover o valor absoluto usamos o critério do sinal da expressão interna \sqrt{x-3}-5. Primeiro, encontramos quando essa expressão é zero:
\sqrt{x-3}-5=0 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x-3}=5 \quad\Longrightarrow\quad x-3=25 \quad\Longrightarrow\quad x=28.
Análise do sinal:
  • Se x\ge 28 então \sqrt{x-3}\ge 5 e \sqrt{x-3}-5\ge 0. Nesse caso |\sqrt{x-3}-5|=\sqrt{x-3}-5.
  • Se 3\le x<28 então \sqrt{x-3}<5 e \sqrt{x-3}-5<0. Nesse caso |\sqrt{x-3}-5|=5-\sqrt{x-3}.
Portanto a forma piecewise (por partes) é
(f\circ g)(x)= \begin{cases} 5-\sqrt{x-3}, & 3\le x<28,\\[6pt] \sqrt{x-3}-5, & x\ge 28. \end{cases}]

Passo 5

Agora vamos estudar a continuidade de (f\circ g). Vou lembrar ideias básicas (sem jargões): funções conhecidas e suas continuidades.
  • A função x\mapsto \sqrt{x} é contínua em [0,\infty). Como g(x)=\sqrt{x-3} é apenas a translação da variável, g é contínua em [3,\infty).
  • A função valor absoluto x\mapsto |x-5| é contínua para todo x\in\mathbb{R}.
  • Regra útil: se g é contínua em um ponto a e f é contínua em g(a), então f\circ g é contínua em a.
Aplicando essa regra: para todo x\in[3,\infty) temos g contínua em x e f contínua em g(x) (porque f é contínua em todo real). Logo f\circ g é contínua em todo x\in[3,\infty). Isso já mostra que a composta é contínua em todo o seu domínio.
Para reforçar, podemos verificar a continuidade no ponto crítico x=28 usando a forma por partes: avaliando os dois ramos no ponto x=28,
\text{ramo à esquerda em }x=28:\quad 5-\sqrt{28-3}=5-\sqrt{25}=5-5=0,à
\text{ramo à direita em }x=28:\quad \sqrt{28-3}-5=\sqrt{25}-5=5-5=0.à
Ambos coincidem em 0, logo não há salto: é contínua também em x=28. Portanto a função é contínua em todo [3,\infty).

Passo 6

Recapitulando de forma prática (o que serve na hora da prova):
  • Primeiro identifique o domínio de g (a restrição de raiz) e conclua o domínio da composição.
  • Faça a substituição direta para obter a expressão |\sqrt{x-3}-5|.
  • Se for útil, transforme em forma por partes resolvendo onde a expressão interna do valor absoluto muda de sinal (aqui em x=28).
  • Use que raiz e valor absoluto são contínuas nas regiões indicadas e que a composição de contínuas é contínua, então conclude continuidade em todo o domínio [3,\infty).

Resposta

(f\circ g)(x)=\bigl|\sqrt{x-3}-5\bigr|=\begin{cases}5-\sqrt{x-3}, & 3\le x<28,\\[4pt]\sqrt{x-3}-5, & x\ge 28,\end{cases}
[3,\infty)]

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