Verifique se existe algum valor de a que torne a função h(x)=(f \circ g)(x) contínua em todo o seu domínio, sabendo que:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{x^{2}-16}{x-4} & \text { se } x \neq 4 \\ a & \text { se } x=4 \end{array} \quad \text { e } \quad g(x)=x+1\right.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f\) é a função definida por \[f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}-16}{x-4}, & \text{se } x\neq 4,\\[6pt] a, & \text{se } x=4, \end{cases}
onde a\] é um valor real (a ser determinado). - \(g é a função dada por g(x)=x+1.
O que o enunciado pede:
  • Verificar se existe algum valor de a que torne a função h(x)=(f\circ g)(x) contínua em todo o seu domínio.
  • Listar todas as informações relevantes: fórmulas de f e g, e observar que g(x)=x+1 está definida para todo x\in\mathbb{R}.]

Passo 2

Identificar onde pode haver problema de continuidade da composta. Explicando a ideia com calma:
  • A composta é h(x)=f(g(x)). O domínio de g é \mathbb{R} (reta inteira) e, como f tem valor definido também em x=4 (valor a), o domínio de f é \mathbb{R}. Assim, o domínio de h é \mathbb{R}.
  • Regra prática importante (aqui explicada): se g é contínua em c e f é contínua em g\text{(c)}, então f\circ g é contínua em c.
    • O que isso significa em palavras: não há surpresa na maioria dos pontos; a continuação da composta só pode falhar se em algum ponto x tivermos que f não seja contínua no ponto g(x).
  • Onde f pode ser descontínua? Pela definição de f, o único ponto potencial de descontinuidade é x=4 (pois a expressão \dfrac{x^{2}-16}{x-4} está escrita somente para x\neq4). Portanto, para h só pode haver problema quando g(x)=4.
  • Resolver g(x)=4:
g(x)=x+1=4 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Conclusão: devemos checar continuidade de h apenas no ponto x=3. Para todo x\neq 3, g(x)\neq 4, então f é dada por uma razão de polinômios com denominador não nulo e, portanto, é contínua nesses pontos; como g é contínua em todos os pontos, a composta é contínua para todo x\neq 3.

Passo 3

Calcular a forma explícita de h(x) para x\neq 3 e o limite \lim_{x\to 3} h(x).
  • Para x\neq 3 temos g(x)=x+1\neq 4, logo usamos a expressão \dfrac{x^{2}-16}{x-4} de f com x substituído por g(x):
h(x)=f(g(x))=\frac{(g(x))^{2}-16}{g(x)-4}=\frac{(x+1)^{2}-16}{(x+1)-4}.
  • Fazer a álgebra e fatorar o numerador:
(x+1)^{2}-16 = x^{2}+2x+1-16 = x^{2}+2x-15.
Fatorizando x^{2}+2x-15:
x^{2}+2x-15=(x-3)(x+5).
  • O denominador é (x+1)-4=x-3. Portanto, para x\neq 3 (onde não dividimos por zero) temos cancelamento:
h(x)=\frac{(x-3)(x+5)}{x-3}=x+5 \qquad\text{para } x\neq 3.
  • Agora o limite when x\to 3:
\lim_{x\to 3} h(x)=\lim_{x\to 3} (x+5)=3+5=8.
Isso significa que a função h tende ao valor 8 quando x se aproxima de 3.

Passo 4

Relacionar esse limite com o valor de h(3) e com a.
  • Pelo modo como h é definida, h(3)=f(g(3))=f(4). Pela definição de f temos f(4)=a. Logo h(3)=a.
  • Para que h seja contínua em x=3 é necessário e suficiente que
\lim_{x\to 3} h(x)=h(3).
Substituindo os valores que já achamos:
8 = \lim_{x\to 3} h(x) = h(3)=a.
  • Interpretação: a descontinuidade de f em x=4 é uma descontinuidade removível; ao escolher a igual ao limite da expressão racional ao redor de 4 (que, via composição, virou limite em x=3), a descontinuidade é eliminada e h fica contínua em 3.

Passo 5

Conclusão final e forma de h quando se escolhe o a adequado.
  • O único valor de a que torna h contínua em todo o seu domínio é a=8.
  • Se a=8, então h(x)=x+5 para todo x\in\mathbb{R} (pois em x=3 também teremos h(3)=a=8=3+5), e portanto h fica contínua em \mathbb{R}.

Resposta

a=8

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