Verifique se existe algum valor de
que torne a função
contínua em todo o seu domínio, sabendo que:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
onde
é a função dada por
.
O que o enunciado pede:
- Verificar se existe algum valor de
que torne a função contínua em todo o seu domínio. - Listar todas as informações relevantes: fórmulas de
e , e observar que está definida para todo .]
Passo 2
Identificar onde pode haver problema de continuidade da composta. Explicando a ideia com calma:
- A composta é
. O domínio de é (reta inteira) e, como tem valor definido também em (valor ), o domínio de é . Assim, o domínio de é . - Regra prática importante (aqui explicada): se
é contínua em e é contínua em , então é contínua em . - O que isso significa em palavras: não há surpresa na maioria dos pontos; a continuação da composta só pode falhar se em algum ponto
tivermos que não seja contínua no ponto .
- O que isso significa em palavras: não há surpresa na maioria dos pontos; a continuação da composta só pode falhar se em algum ponto
- Onde
pode ser descontínua? Pela definição de , o único ponto potencial de descontinuidade é (pois a expressão está escrita somente para ). Portanto, para só pode haver problema quando . - Resolver
:
Conclusão: devemos checar continuidade de
apenas no ponto
. Para todo
,
, então
é dada por uma razão de polinômios com denominador não nulo e, portanto, é contínua nesses pontos; como
é contínua em todos os pontos, a composta é contínua para todo
.
Passo 3
Calcular a forma explícita de
para
e o limite
.
- Para
temos , logo usamos a expressão de com substituído por :
- Fazer a álgebra e fatorar o numerador:
Fatorizando
:
- O denominador é
. Portanto, para (onde não dividimos por zero) temos cancelamento:
- Agora o limite when
:
Isso significa que a função
tende ao valor
quando
se aproxima de
.
Passo 4
Relacionar esse limite com o valor de
e com
.
- Pelo modo como
é definida, . Pela definição de temos . Logo . - Para que
seja contínua em é necessário e suficiente que
Substituindo os valores que já achamos:
- Interpretação: a descontinuidade de
em é uma descontinuidade removível; ao escolher igual ao limite da expressão racional ao redor de (que, via composição, virou limite em ), a descontinuidade é eliminada e fica contínua em .
Passo 5
Conclusão final e forma de
quando se escolhe o
adequado.
- O único valor de
que torna contínua em todo o seu domínio é . - Se
, então para todo (pois em também teremos ), e portanto fica contínua em .