Seja f(x, y, z)=x^{2} y^{4} z^{3}+x y+z^{2}+1. Determine
f_{y}(x, y, z)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=x^{2}y^{4}z^{3}+xy+z^{2}+1
e pede a derivada parcial de f em relação a y, ou seja \frac{\partial f}{\partial y}. Para isso vamos tratar x e z como constantes e aplicar a regra de potência e a derivada de produto quando necessário.

Passo 2

Derivando o primeiro termo
x^{2}y^{4}z^{3}
em relação a y, x^{2} e z^{3} são constantes, então
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{4}z^{3}\bigr) =x^{2}z^{3}\,\frac{d}{dy}(y^{4}) =4\,x^{2}y^{3}z^{3}.

Passo 3

Derivando o segundo termo xy em relação a y, x é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}(xy) =x\,\frac{d}{dy}(y) =x.

Passo 4

Os termos z^{2} e 1 não dependem de y, portanto
\frac{\partial}{\partial y}(z^{2})=0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial y}(1)=0.

Passo 5

Somando as parcelas obtidas, temos
\frac{\partial f}{\partial y} =4\,x^{2}y^{3}z^{3}+x+0+0 =4x^{2}y^{3}z^{3}+x.

Resposta

f_{y}(x,y,z)=4x^{2}y^{3}z^{3}+x.

Exercícios relacionados