1. Suponha que f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} seja diferenciável e satisfaça D_{(2,2)} f(1,2)=2 e D_{(0,1)} f(1,2)=-2. Determine o gradiente de f em (1,2) e calcule D_{(4,6)} f(1,2).

Passo 1

O enunciado fala de derivadas direcionais de uma função diferenciável f\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}. Lembrando que, para f diferenciável em (1,2), a derivada direcional em qualquer vetor v=(v_1,v_2) é dada por
D_{v}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot v = f_x(1,2)\,v_1 + f_y(1,2)\,v_2.
Sabemos que
D_{(2,2)}f(1,2)=2 \quad\text{e}\quad D_{(0,1)}f(1,2)=-2.
Vamos usar essas duas igualdades para encontrar f_x(1,2) e f_y(1,2).

Passo 2

Da segunda informação, com v=(0,1), temos
D_{(0,1)}f(1,2) = f_x(1,2)\cdot 0 + f_y(1,2)\cdot 1 = f_y(1,2) = -2.
Logo,
f_y(1,2)=-2.

Passo 3

Agora usemos v=(2,2) na primeira informação:
D_{(2,2)}f(1,2) = f_x(1,2)\cdot 2 + f_y(1,2)\cdot 2 =2.
Substituindo f_y(1,2)=-2, obtemos
2\,f_x(1,2) + 2\cdot(-2) = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2\,f_x(1,2) -4 =2 \quad\Longrightarrow\quad f_x(1,2)=3.

Passo 4

Com f_x(1,2)=3 e f_y(1,2)=-2, concluímos que o gradiente é
\nabla f(1,2) = \begin{pmatrix}f_x(1,2)\\[6pt]f_y(1,2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[3pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para calcular D_{(4,6)}f(1,2), usamos novamente
D_{(4,6)}f(1,2) = \nabla f(1,2)\cdot(4,6) = 3\cdot4 + (-2)\cdot6 =12 -12 =0.

Resposta

O gradiente é \displaystyle\nabla f(1,2)=\begin{pmatrix}3\\\ -2\end{pmatrix}
e D_{(4,6)}f(1,2)=0.

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