Encontre a equação do plano tangente e a equação da reta normal a cada superfície no ponto indicado
z=x^{2}-y^{2},(-3,-2,5).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície \displaystyle z = x^{2} - y^{2} no ponto (-3,-2,5). Vamos usar derivadas parciais para obter os coeficientes angulares do plano e o vetor normal, e então escrever as equações pedidas.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}-y^{2}:
f_{x}(x,y)=2x, \quad f_{y}(x,y)=-2y.

Passo 3

Avalie em (x_{0},y_{0}) =(-3,-2):
f_{x}(-3,-2)=2\cdot(-3)=-6, \quad f_{y}(-3,-2)=-2\cdot(-2)=4.

Passo 4

Use a fórmula do plano tangente
z - z_{0} = f_{x}(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) + f_{y}(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0})
em que (x_{0},y_{0},z_{0})=(-3,-2,5). Logo,
z - 5 = -6\,(x + 3) + 4\,(y + 2).
Expandindo e reorganizando, obtemos
z = -6x + 4y - 5.

Passo 5

O vetor normal ao plano tem coordenadas dadas por (f_{x}(x_{0},y_{0}),f_{y}(x_{0},y_{0}),-1)=(-6,4,-1). Assim, a reta normal em forma paramétrica é
x = -3 - 6t, \quad y = -2 + 4t, \quad z = 5 - t.

Resposta

Plano tangente:
z = -6x + 4y - 5.
Reta normal:
x = -3 - 6t,\quad y = -2 + 4t,\quad z = 5 - t.

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