Seja
a representação decimal de
, onde
. Mostrar que:
se, e somente se,
Passo 1
O enunciado nos dá o número
onde
, e pede para mostrar que
O conteúdo principal é o uso de congruências módulo 11 e da propriedade de potências em congruências.
Passo 2
Sabemos que
porque
. Pela propriedade de potências em congruências, para todo inteiro
vale
Passo 3
Escrevendo
em soma de potências de 10, temos
Aplicando a congruência do passo anterior,
Passo 4
Separe a soma em termos de índices pares e ímpares. Defina
Então
e portanto
Logo
se, e somente se,
isto é,
Resposta
Mostramos que