Seja r=r_{m} 10^{m}+r_{m-1} 10^{m-1}+\cdots+r_{1} 10^{1}+r_{0} a representação decimal de r>1, onde 0 \leq r_{i}<10. Mostrar que:
11 \mid r se, e somente se, 11 \mid\left(r_{0}+\cdots\right)-\left(r_{1}+\cdots\right)

Passo 1

O enunciado nos dá o número
r = r_{m}10^{m} + r_{m-1}10^{m-1} + \cdots + r_{1}10^{1} + r_{0},
onde 0 \le r_i < 10, e pede para mostrar que
11\mid r \quad\Longleftrightarrow\quad 11 \mid \bigl(r_{0}+r_{2}+r_{4}+\cdots\bigr) \;-\;\bigl(r_{1}+r_{3}+r_{5}+\cdots\bigr).
O conteúdo principal é o uso de congruências módulo 11 e da propriedade de potências em congruências.

Passo 2

Sabemos que
10 \equiv -1 \pmod{11}
porque 10 - (-1) = 11. Pela propriedade de potências em congruências, para todo inteiro i\ge0 vale
10^i \equiv (-1)^i \pmod{11}.

Passo 3

Escrevendo r em soma de potências de 10, temos
r = \sum_{i=0}^{m} r_i\,10^i.
Aplicando a congruência do passo anterior,
r \equiv \sum_{i=0}^{m} r_i\,(-1)^i \pmod{11}.

Passo 4

Separe a soma em termos de índices pares e ímpares. Defina
S_{\mathrm{even}} = \sum_{\substack{0\le i\le m\i\text{ par}}} r_i, \qquad S_{\mathrm{odd}} = \sum_{\substack{0\le i\le m\i\text{ ímpar}}} r_i.
Então
\sum_{i=0}^{m} r_i(-1)^i = \bigl(r_{0}+r_{2}+r_{4}+\cdots\bigr) - \bigl(r_{1}+r_{3}+r_{5}+\cdots\bigr) = S_{\mathrm{even}} - S_{\mathrm{odd}},
e portanto
r \equiv S_{\mathrm{even}} - S_{\mathrm{odd}} \pmod{11}.
Logo 11\mid r se, e somente se,
11 \mid \bigl(S_{\mathrm{even}} - S_{\mathrm{odd}}\bigr),
isto é,
11 \mid \bigl(r_{0}+r_{2}+r_{4}+\cdots\bigr) - \bigl(r_{1}+r_{3}+r_{5}+\cdots\bigr).

Resposta

Mostramos que
11\mid r \quad\Longleftrightarrow\quad 11 \mid \bigl(r_{0}+r_{2}+r_{4}+\cdots\bigr) - \bigl(r_{1}+r_{3}+r_{5}+\cdots\bigr).

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