Seja
a representação decimal de
, onde
. Mostrar que:
se, e somente se,
;
Passo 1
O enunciado apresenta o número
com cada dígito
satisfazendo
, e pede para mostrar que
O conteúdo envolve aritmética modular e a propriedade de divisibilidade de potências de
por
.
Passo 2
Observamos que
ou seja,
. Portanto, para todo
vale
é múltiplo de
, isto é,
Passo 3
Separe a soma dos termos de grau maior de 1 dos dois últimos dígitos. Defina
Então
Como cada
em
é múltiplo de
, temos
Passo 4
Da decomposição anterior segue
Assim,
é divisível por
se, e somente se,
for divisível por
.
Resposta
Concluímos que