Seja r=r_{m} 10^{m}+r_{m-1} 10^{m-1}+\cdots+r_{1} 10^{1}+r_{0} a representação decimal de r>1, onde 0 \leq r_{i}<10. Mostrar que:
4 \mid r se, e somente se, 4 \mid\left(10 r_{1}+r_{0}\right);

Passo 1

O enunciado apresenta o número
r = r_{m}10^{m} + r_{m-1}10^{m-1} + \cdots + r_{1}10^{1} + r_{0},
com cada dígito r_i satisfazendo 0 \le r_i < 10, e pede para mostrar que
4 \mid r \quad\Longleftrightarrow\quad 4 \mid (10\,r_{1} + r_{0}).
O conteúdo envolve aritmética modular e a propriedade de divisibilidade de potências de 10 por 4.

Passo 2

Observamos que
100 = 4 \times 25,
ou seja, 100\equiv 0\pmod{4}. Portanto, para todo k\ge2 vale
10^{k} = 100\cdot 10^{k-2}
é múltiplo de 4, isto é,
10^{k}\equiv 0\pmod{4} \quad\text{para }k\ge2.

Passo 3

Separe a soma dos termos de grau maior de 1 dos dois últimos dígitos. Defina
S = \sum_{i=2}^{m} r_i\,10^i.
Então
r = S + 10\,r_{1} + r_{0}.
Como cada 10^i em S é múltiplo de 4, temos
S \equiv 0\pmod{4}.

Passo 4

Da decomposição anterior segue
r = S + 10\,r_{1} + r_{0} \;\Longrightarrow\; r \equiv 10\,r_{1} + r_{0}\pmod{4}.
Assim, r é divisível por 4 se, e somente se, 10\,r_{1}+r_{0} for divisível por 4.

Resposta

Concluímos que
4 \mid r \quad\Longleftrightarrow\quad 4 \mid \bigl(10\,r_{1} + r_{0}\bigr).

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