Seja
a representação decimal de
, onde
. Mostrar que:
se, e somente se,
ou
;
Passo 1
O enunciado dá a representação decimal
com
, e pede para mostrar que
exatamente quando o último dígito
vale
ou
. Vamos usar congruências módulo
e a propriedade de que
.
Passo 2
Note que
então para todo
então para todo
é múltiplo de
. Assim cada termo
com
é divisível por
.
Passo 3
Podemos então escrever
para algum inteiro
. Daí
ou seja,
se, e somente se,
.
Passo 4
Como
é um algarismo decimal com
, os únicos valores de
que são múltiplos de
são
e
.