Seja r=r_{m} 10^{m}+r_{m-1} 10^{m-1}+\cdots+r_{1} 10^{1}+r_{0} a representação decimal de r>1, onde 0 \leq r_{i}<10. Mostrar que:
5 \mid r se, e somente se, r_{0}=0 ou r_{0}=5;

Passo 1

O enunciado dá a representação decimal
r = r_{m}10^{m} + r_{m-1}10^{m-1} + \cdots + r_{1}10^{1} + r_{0},
com 0 \le r_i < 10, e pede para mostrar que 5\mid r exatamente quando o último dígito r_{0} vale 0 ou 5. Vamos usar congruências módulo 5 e a propriedade de que 10\equiv0\pmod5.

Passo 2

Note que \;10 = 5\cdot 2,
então para todo k\ge1
10^k = 5\cdot\bigl(2\,10^{k-1}\bigr)
é múltiplo de 5. Assim cada termo r_i\,10^i com i\ge1 é divisível por 5.

Passo 3

Podemos então escrever
r = \sum_{i=1}^m r_i\,10^i + r_0 = 5Q + r_0
para algum inteiro Q. Daí
r \equiv r_0 \pmod 5,
ou seja, 5\mid r se, e somente se, 5\mid r_0.

Passo 4

Como r_0 é um algarismo decimal com 0 \le r_0 < 10, os únicos valores de r_0 que são múltiplos de 5 são 0 e 5.

Resposta

5\mid r se, e somente se, r_{0}=0 ou r_{0}=5.

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