Seja Y=100 X a variável que representa a percentagem de álcool num certo composto, onde X é uma variável aleatória com a seguinte função densidade de probabilidade:
fX(x)= 20 x^3(1-x) & , 0 <= x<1 0 & , caso contrário á
Determine a função de distribuição de X.

Passo 1

Beleza, o que a questão tá pedindo? A gente tem uma variável aleatória fX(x)= 20,x^3(1-x),&0<= x<1, 0,&caso contrário, com densidade
á
e quer achar a função de distribuição acumulada .
Conteúdo: probabilidade contínua e integração de densidade pra achar a distribuição.
O que vamos usar:
  • Definição de função de distribuição .
  • Cálculo de integral polinomial (Regra do polinômio e Teorema Fundamental do Cálculo).

Passo 2

Primeiro, escrevemos a definição geral:
FX(x)=integral-infty^xfX(t),dt
Como pra e pra , a gente tem três regiões:
  1. .
  2. .
  3. .

Passo 3

Agora vamo calcular a integral pra integral0^x20,t^3(1-t),dt =20integral0^xl(t^3 - t^4r),dt =20l[t^44-t^55r]0^x =20l(x^44-x^55r) :
20l(x^44-x^55r) =5,x^4 - 4,x^5
É só simplificar:

Passo 4

Juntando tudo em forma de função de distribuição acumulada, temos:
FX(x)= 0,&x<0, 5,x^4 - 4,x^5,&0<= x<1, 1,&x>=1

Resposta

boxed FX(x)= 0,&x<0, 5x^4-4x^5,&0<= x<1, 1,&x>=1

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