O tempo de funcionamento sem avarias (expresso em dias) de um determinado equipamento, tem a seguinte função densidade de probabilidade:
Represente graficamente a função densidade,
, e a função de distribuição,
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que o tempo de vida de um equipamento (em dias) é uma variável aleatória contínua com densidade
O conteúdo aqui é Distribuição Exponencial e a relação básica entre função densidade (pdf) e função de distribuição acumulada (cdf):
Para resolver, vamos:
- entender e esboçar o formato de
, - integrar pra achar
e esboçar o formato de .
Passo 2
Analisando
:
- Para
, . - Para
, .
Isso é um decaimento exponencial que começa emcom valor e cai suavemente a zero conforme .
Esboço de
:
t-axis →
f
| *
| *
| * ← curva decrescente
| *
|*_______
0
t-axis →
f
| *
| *
| * ← curva decrescente
| *
|*_______
0
Passo 3
Agora vamos achar a cdf
:
Para :
Para
Para
:
Logo
Passo 4
Esboço de
:
-
Em
, . -
Conforme
, e .
É uma curva em “S” suave (sem inflexão forte), subindo de 0 até 1.t-axis →
F
| ________
| /
| / ← sobe rápido no início
| /
|/___
0
Resposta
Funções e esboços finais:
- Função densidade (pdf):
Gráfico: decaimento exponencial de altura inicial 0.5 em
até 0.
- Função distribuição acumulada (cdf):
Gráfico: curva crescente de 0 (em
) até 1 (quando
).