O tempo de funcionamento sem avarias (expresso em dias) de um determinado equipamento, tem a seguinte função densidade de probabilidade:
f(t)= 0 & , t<0 0.5 e^-0.5 t & , t >= 0
Represente graficamente a função densidade, f(t), e a função de distribuição, F(t).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o tempo de vida de um equipamento (em dias) é uma variável aleatória contínua com densidade
f(t)= 0, & t<0, 0.5,e^-0.5,t, & t>=0
O conteúdo aqui é Distribuição Exponencial e a relação básica entre função densidade (pdf) e função de distribuição acumulada (cdf):
F(t)=integral-infty^t f(s),ds
Para resolver, vamos:
  1. entender e esboçar o formato de ,
  2. integrar pra achar e esboçar o formato de .

Passo 2

Analisando :
  • Para , .
  • Para , .
    Isso é um decaimento exponencial que começa em com valor e cai suavemente a zero conforme .
Esboço de :
t-axis →
f
| *
| *
| * ← curva decrescente
| *
|*_______
0

Passo 3

Agora vamos achar a cdf F(t)=integral-infty^t f(s),ds = 0 :
Para F(t)=integral0^t 0.5,e^-0.5s,ds =l[-e^-0.5sr]0^t =1 - e^-0.5t :
F(t)= 0, & t<0, 1 - e^-0.5t, & t>=0
Para :
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Passo 4

Esboço de :
  • Em , .
  • Conforme , e .
    É uma curva em “S” suave (sem inflexão forte), subindo de 0 até 1.
    t-axis →
    F
    | ________
    | /
    | / ← sobe rápido no início
    | /
    |/___
    0

Resposta

Funções e esboços finais:
  1. Função densidade (pdf):
f(t)= 0, & t<0, 0.5,e^-0.5t, & t>=0
Gráfico: decaimento exponencial de altura inicial 0.5 em F(t)= 0, & t<0, 1-e^-0.5t, & t>=0 até 0.
  1. Função distribuição acumulada (cdf):
Gráfico: curva crescente de 0 (em ) até 1 (quando ).

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