Suponha que o desvio da medida das peças produzidas por uma máquina em relação à norma especificada pelo mercado é uma variável aleatória
com a seguinte função densidade de probabilidade
Calcule o valor esperado, a variância e a mediana de
X .
Passo 1
Beleza, aqui o problema é sobre uma variável contínua X que mede o desvio de peças produzidas em relação ao padrão. A densidade é peça-por-peça definida assim:
O que a gente precisa é:
- achar o valor de
garantindo que a densidade some 1 (normalização), - calcular o valor esperado
, - calcular a variância
e - achar a mediana, que é o ponto
com .
Vamos usar integrais pra densidade e pra os momentos, e depois resolver a equação do CDF pra mediana.
Passo 2
Normalização: precisamos que
Calcule cada parte:
-
(tfrac12+k)+(tfrac12+k)=1+2k=1 Longrightarrow 2k=0;Longrightarrow;k=0 -
Somando dá
Passo 3
Agora que
fX(x)= 1+x, & -1<= x<0, 1-x, & 0<= x<1, 0, &caso contrário , a densidade vira
Para o valor esperado
, usamos
Calcule:
-
-
Somando dá
Passo 4
Pra variância, usamos
E(X^2) =integral-1^1x^2,fX(x),dx =integral-1^0x^2(1+x),dx +integral0^1x^2(1-x),dx .
Já sabemos , então
.
Já sabemos
-
-
Logo ,
então .
Passo 5
A mediana
FX(0) =integral-1^0(1+x),dx =l[x+tfracx^22r]-1^0 =0-l(-1+tfrac12r) =tfrac12 satisfaz
m=0 . O CDF até 0 é
Como
, a mediana é
Resposta
Esperança
,
variância ,
mediana .
variância
mediana