Suponha que o desvio da medida das peças produzidas por uma máquina em relação à norma especificada pelo mercado é uma variável aleatória X com a seguinte função densidade de probabilidade
fX(x)=lll 1+k+x & , & -1 <= x<0 1+k-x & , & 0 <= x<1 0 & , & restantes valores de x
Calcule o valor esperado, a variância e a mediana de X.

Passo 1

Beleza, aqui o problema é sobre uma variável contínua X que mede o desvio de peças produzidas em relação ao padrão. A densidade é peça-por-peça definida assim:
fX(x)= 1+k+x, & -1<= x<0, 1+k-x, & 0<= x<1, 0, &caso contrário á
O que a gente precisa é:
  1. achar o valor de garantindo que a densidade some 1 (normalização),
  2. calcular o valor esperado ,
  3. calcular a variância e
  4. achar a mediana, que é o ponto com .
    Vamos usar integrais pra densidade e pra os momentos, e depois resolver a equação do CDF pra mediana.

Passo 2

Normalização: precisamos que
integral-1^1fX(x),dx =integral-1^0(1+k+x),dx +integral0^1(1+k-x),dx =1
Calcule cada parte:
  1. (tfrac12+k)+(tfrac12+k)=1+2k=1 Longrightarrow 2k=0;Longrightarrow;k=0

  2. Somando dá

Passo 3

Agora que fX(x)= 1+x, & -1<= x<0, 1-x, & 0<= x<1, 0, &caso contrário , a densidade vira
E(X) =integral-1^1x,fX(x),dx =integral-1^0x(1+x),dx +integral0^1x(1-x),dx á
Para o valor esperado , usamos
Calcule:

  1. Somando dá

Passo 4

Pra variância, usamos
E(X^2) =integral-1^1x^2,fX(x),dx =integral-1^0x^2(1+x),dx +integral0^1x^2(1-x),dx .
Já sabemos , então .

  1. Logo ,
    então .

Passo 5

A mediana FX(0) =integral-1^0(1+x),dx =l[x+tfracx^22r]-1^0 =0-l(-1+tfrac12r) =tfrac12 satisfaz m=0 . O CDF até 0 é
Como , a mediana é

Resposta

Esperança ,
variância ,
mediana .

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