Seja
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por
as coordenadas de
com relação à base
, calcule o valor de
.
(A) 3
(B) 4
© -4
(D) 1
(E) -3
(F) -1
(G) 2
(H) -2
(I) Não sei
Denotando por
(A) 3
(B) 4
© -4
(D) 1
(E) -3
(F) -1
(G) 2
(H) -2
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio $ p(x) = 14 - 22x + 30x^{2} $ e uma base
do espaço dos polinômios de grau até 2. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas de $ p $ em relação a essa base, ou seja, descobrir os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ na representação
. No final, a gente quer saber especificamente qual é o valor de $ c $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa representar um polinômio em termos de uma base. Quando a gente escreve
, isso quer dizer que:
A ideia é encontrar os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ que, ao combinar essas bases, nos dão o polinômio $ p(x) $.
Passo 3
Vamos expandir a expressão acima:
Simplificando os termos:
Agora, sabemos que $ p(x) = 14 - 22x + 30x^{2} $. Podemos igualar os coeficientes correspondentes dos termos de mesmo grau.
Passo 4
Igualando os coeficientes:
- Termo constante:
- Coeficiente de $ x $:
- Coeficiente de $ x^{2} $:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas.
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da equação 2:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Agora, vamos da equação 1:
E da equação 3:
Observando que a equação 3 é basicamente o dobro da equação 2 simplificada menos 2c, vamos tentar expressar tudo em termos de uma variável.
Da equação 2 simplificada:
Agora, substituímos $ a $ na equação 1:
Simplificando:
Então:
Agora, substituímos $ a $ e $ c $ na equação 3:
Simplificando:
Então:
Agora que temos $ b = -1 $, podemos encontrar $ c $:
Resposta
O valor de $ c $ é 4.