Seja p(x)=14-22 x+30 x^2 e
beta=-2+4 x-4 x^2, -2+6 x-6 x^2, 1+2 x^2
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]beta=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base beta, calcule o valor de c.
(A) 3
(B) 4
© -4
(D) 1
(E) -3
(F) -1
(G) 2
(H) -2
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio $ p(x) = 14 - 22x + 30x^{2} $ e uma base p(x) = 14 - 22x + 30x^2 do espaço dos polinômios de grau até 2. Nosso objetivo aqui é encontrar as coordenadas de $ p $ em relação a essa base, ou seja, descobrir os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ na representação beta = -2 + 4x - 4x^2, -2 + 6x - 6x^2, 1 + 2x^2. No final, a gente quer saber especificamente qual é o valor de $ c $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa representar um polinômio em termos de uma base. Quando a gente escreve [p]beta = (a, b, c), isso quer dizer que:
p(x) = a cdot (-2 + 4x - 4x^2) + b cdot (-2 + 6x - 6x^2) + c cdot (1 + 2x^2)
A ideia é encontrar os valores de $ a $, $ b $ e $ c $ que, ao combinar essas bases, nos dão o polinômio $ p(x) $.

Passo 3

Vamos expandir a expressão acima:
p(x) = a(-2) + a(4x) + a(-4x^2) + b(-2) + b(6x) + b(-6x^2) + c(1) + c(2x^2)
Simplificando os termos:
p(x) = (-2a - 2b + c) + (4a + 6b)x + (-4a - 6b + 2c)x^2
Agora, sabemos que $ p(x) = 14 - 22x + 30x^{2} $. Podemos igualar os coeficientes correspondentes dos termos de mesmo grau.

Passo 4

Igualando os coeficientes:
  1. Termo constante:
-2a - 2b + c = 14
  1. Coeficiente de $ x $:
x
  1. Coeficiente de $ x^{2} $:
4a + 6b = -22
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas.

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da equação 2:
4a + 6b = -22
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
2a + 3b = -11 (Equação 2 simplificada) çã
Agora, vamos da equação 1:
-2a - 2b + c = 14 (Equação 1) çã
E da equação 3:
-4a - 6b + 2c = 30 (Equação 3) çã
Observando que a equação 3 é basicamente o dobro da equação 2 simplificada menos 2c, vamos tentar expressar tudo em termos de uma variável.
Da equação 2 simplificada:
2a + 3b = -11 Rightarrow 2a = -11 - 3b Rightarrow a = -11 - 3b2
Agora, substituímos $ a $ na equação 1:
a
Simplificando:
-2(-11 - 3b2) - 2b + c = 14
Então:
(11 + 3b) - 2b + c = 14 Rightarrow 11 + b + c = 14
Agora, substituímos $ a $ e $ c $ na equação 3:
b + c = 3 Rightarrow c = 3 - b
Simplificando:
a
Então:
c
Agora que temos $ b = -1 $, podemos encontrar $ c $:
-4(-11 - 3b2) - 6b + 2(3 - b) = 30

Resposta

O valor de $ c $ é 4.

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