Verifique se as equações abaixo são homogêneas e resolva-as:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação . O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem homogêneas, e vamos precisar usar a definição de funções homogêneas e a substituição .
Passo 2
Para verificar se a equação é homogênea, observamos as funções:
M(x,y) = x^{2} + y^{2},
N(x,y) = x^{2} - x y.
Ambas são polinômios de grau 2 em , logo são homogêneas de mesmo grau. Assim, a equação é homogênea.
Passo 3
Para resolver equações homogêneas, fazemos a substituição , o que implica . Substituindo em , temos:
Isso simplifica para
Passo 4
Agora vamos agrupar os termos em e . Primeiro, o coeficiente de :
Para , temos:
Então a equação fica
Passo 5
Dividindo tudo por , obtemos uma equação separável:
Integramos dos dois lados. Note que
Então
E
Logo
Passo 6
Substituindo de volta , obtemos a solução implícita em :