Verifique se as equações abaixo são homogêneas e resolva-as:
(x^2+y^2) d x+(x^2-x y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação (x^2+y^2),dx + (x^2-xy),dy = 0. O conteúdo é equações diferenciais de primeira ordem homogêneas, e vamos precisar usar a definição de funções homogêneas e a substituição y = vx.

Passo 2

Para verificar se a equação é homogênea, observamos as funções:
M(x,y) = x^{2} + y^{2},
N(x,y) = x^{2} - x y.
Ambas são polinômios de grau 2 em x,y, logo são homogêneas de mesmo grau. Assim, a equação é homogênea.

Passo 3

Para resolver equações homogêneas, fazemos a substituição y = v x, o que implica dy = v,dx + x,dv. Substituindo em (x^2+y^2),dx + (x^2-xy),dy = 0, temos:
(x^2 + v^2x^2),dx + (x^2 - v x^2)(v,dx + x,dv) = 0
Isso simplifica para
x^2(1+v^2),dx + x^2(1-v)(v,dx + x,dv) = 0

Passo 4

Agora vamos agrupar os termos em dx e dv. Primeiro, o coeficiente de dx:
x^2(1+v^2) + x^2v(1-v) = x^2l(1+v^2 + v - v^2r) = x^2(1+v)
Para dv, temos:
x^2(1-v),x,dv = x^3(1-v),dv
Então a equação fica
x^2(1+v),dx + x^3(1-v),dv = 0

Passo 5

Dividindo tudo por x^2, obtemos uma equação separável:
(1+v),dx + x(1-v),dv = 0 ,iff, dxx = -1-v1+v,dv
Integramos dos dois lados. Note que
-1-v1+v = -1 + 2v1+v
Então
integral dxx = integral l(-1 + 2v1+vr) dv = -v + 2integral v1+vdv
E
integral v1+vdv = integral l(1 - 11+vr)dv = v - ln|1+v|
Logo
ln|x| = -v + 2l(v - ln|1+v|r) + C = v - 2ln|1+v| + C

Passo 6

Substituindo de volta v = y/x, obtemos a solução implícita em x,y:
ln|x| + 2lnl|1 + yxr| - yx = C
Podemos reescrever de forma mais elegante:
2ln|x+y| - ln|x| - yx = C

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
2ln|x+y| - ln|x| - yx = C,
onde C é constante de integração.

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