Seja p(x)=-5-18 x-16 x^{2} \mathrm{e}
\beta=\left\{1+3 x+x^{2}, \quad 2+8 x+8 x^{2}, \quad-1-4 x-6 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(B) -2
(B) -2
(C) -1
(D) 2
(E) -4
(F) 4
(G) -3
(✓) 1

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=-5-18x-16x^{2} e a base \beta formada pelos polinômios
v_{1}=1+3x+x^{2},\qquad v_{2}=2+8x+8x^{2},\qquad v_{3}=-1-4x-6x^{2}.
Foi dito que as coordenadas de p na base \beta são [p]_{\beta}=(a,b,c). A pergunta é: qual é o valor de c?

Passo 2

Lembrete didático: dizer que [p]_{\beta}=(a,b,c) significa que p é combinação linear das mesmas componentes da base, ou seja
p(x)=a\,v_{1}(x)+b\,v_{2}(x)+c\,v_{3}(x).
Como dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes dos termos 1, x e x^{2} forem iguais termo a termo, vamos igualar coeficientes dos lados esquerdo e direito.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear e agrupando coeficientes por potências de x\) obtemos as equações para os coeficientes constantes, de \(x\) e de \(x^{2}\): \[\begin{cases} a+2b-c=-5,\\[4pt] 3a+8b-4c=-18,\\[4pt] a+8b-6c=-16. \end{cases}
Expliquei: na primeira linha somam-se os termos constantes a\cdot1+b\cdot2+c\cdot(-1)\]; nas outras linhas procede-se de forma análoga para os coeficientes de \(x e de x^{2}.]

Passo 4

Vamos resolver o sistema. Da primeira equação isolamos a:
a=-5-2b+c.
Substituímos esse a nas segunda e terceira equações. Primeiro na segunda:
3(-5-2b+c)+8b-4c=-18.
Desenvolvendo os parênteses:
-15-6b+3c+8b-4c=-18.
Juntando termos semelhantes:
-15+2b-c=-18.
Isolando termos numéricos:
2b-c=-18+15=-3,
logo
2b-c=-3.

Passo 5

Agora substituímos a=-5-2b+c na terceira equação:
(-5-2b+c)+8b-6c=-16.
Desenvolvendo e juntando termos:
-5+6b-5c=-16.
Isolando:
6b-5c=-16+5=-11,
logo
6b-5c=-11.

Passo 6

Temos agora o sistema em b\) e \(c\): \[\begin{cases} 2b-c=-3,\\[4pt] 6b-5c=-11. \end{cases}
Da primeira equação isolamos (c]:
c=2b+3.
Substituímos na segunda:
6b-5(2b+3)=-11.
Calculando:
6b-10b-15=-11,
-4b-15=-11,
-4b=4,
b=-1.]

Passo 7

Com b=-1 usamos c=2b+3:
c=2(-1)+3=-2+3=1.
Podemos, se quisermos checar, calcular a por a=-5-2b+c:
a=-5-2(-1)+1=-5+2+1=-2,
e confirmar que esses a,b,c satisfazem as três equações originais. Mas a pergunta pedia apenas c.

Resposta

1

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