Seja
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 .
Denotando por
as coordenadas de
com relação à base
, calcule o valor de
.
(B) -2
(B) -2
(C) -1
(D) 2
(E) -4
(F) 4
(G) -3
(✓) 1
Denotando por
(B) -2
(B) -2
(C) -1
(D) 2
(E) -4
(F) 4
(G) -3
(✓) 1
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e a base
formada pelos polinômios
Foi dito que as coordenadas de
na base
são
. A pergunta é: qual é o valor de
?
Passo 2
Lembrete didático: dizer que
significa que
é combinação linear das mesmas componentes da base, ou seja
Como dois polinômios são iguais se, e somente se, os coeficientes dos termos
,
e
forem iguais termo a termo, vamos igualar coeficientes dos lados esquerdo e direito.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear e agrupando coeficientes por potências de
Expliquei: na primeira linha somam-se os termos constantes
e de
.]
Passo 4
Vamos resolver o sistema. Da primeira equação isolamos
:
Substituímos esse
nas segunda e terceira equações. Primeiro na segunda:
Desenvolvendo os parênteses:
Juntando termos semelhantes:
Isolando termos numéricos:
logo
Passo 5
Agora substituímos
na terceira equação:
Desenvolvendo e juntando termos:
Isolando:
logo
Passo 6
Temos agora o sistema em
Da primeira equação isolamos (c]:
Substituímos na segunda:
Calculando:
Substituímos na segunda:
Calculando:
Passo 7
Com
usamos
:
Podemos, se quisermos checar, calcular
por
:
e confirmar que esses
satisfazem as três equações originais. Mas a pergunta pedia apenas
.