Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-3 \\\\ -4 \\\\ -1 \\\\ -8\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 4 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 2 \\\\ -4 \\\\ -5\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(E) 4
3

Passo 1

O problema pede: determinar a dimensão do espaço gerado (span) pelos quatro vetores abaixo. As informações dadas são os quatro vetores em \mathbb{R}^4:
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}-3\\\ -4\\\ -1\\\ -8\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}2\\\ 4\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -4\\\ -5\end{pmatrix}.
A pergunta explícita é: qual é a dimensão de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}?

Passo 2

Vamos recapitular o que significa “dimensão do span” de forma didática. O conjunto \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} é o conjunto de todas as combinações lineares
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\dots+\alpha_k v_k,
onde \alpha_i são escalares reais. A dimensão desse espaço (o que nos pedem) é o número de vetores de uma base desse espaço, isto é, o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles. Uma forma prática de encontrar essa dimensão é montar uma matriz cujas colunas são os vetores dados e calcular o posto (rank) dessa matriz: o posto é exatamente a dimensão do subespaço gerado pelas colunas.

Passo 3

Escolhi usar eliminação de Gauss (redução por linhas) para encontrar o posto da matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4. Motivo: é um método direto, algébrico e eficiente para descobrir quantas colunas são linearmente independentes — cada coluna pivot corresponde a um vetor independente. Agora montamos a matriz A com as colunas sendo v_1,v_2,v_3,v_4:
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 & -1\\[4pt] 2 & -4 & 4 & 2\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -4\\[4pt] 2 & -8 & 3 & -5 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Aplicamos operações elementares por linhas para colocar A em forma escalonada. Primeiro usamos a primeira linha como pivô e zeramos abaixo:
  • L_2 \leftarrow L_2-2L_1,
  • L_4 \leftarrow L_4-2L_1.
Cálculo de L_2:
(2,-4,4,2) - 2(1,-3,2,-1) = (0,2,0,4).
Cálculo de L_4:
(2,-8,3,-5) - 2(1,-3,2,-1) = (0,-2,-1,-3).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 4\\[4pt] 0 & -1 & 2 & -4\\[4pt] 0 & -2 & -1 & -3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora usamos a segunda linha como pivô na coluna 2. Primeiro é conveniente normalizar L_2:
L_2 \leftarrow \tfrac{1}{2}L_2 = (0,1,0,2).
Depois zeramos as entradas acima e abaixo na coluna 2:
  • L_1 \leftarrow L_1 + 3L_2,
  • L_3 \leftarrow L_3 + 1L_2,
  • L_4 \leftarrow L_4 + 2L_2.
Calculemos cada uma:
L_1+3L_2 = (1,-3,2,-1) + 3(0,1,0,2) = (1,0,2,5).
L_3+L_2 = (0,-1,2,-4) + (0,1,0,2) = (0,0,2,-2).
L_4+2L_2 = (0,-2,-1,-3) + 2(0,1,0,2) = (0,0,-1,1).
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 2 & -2\\[4pt] 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Usamos a terceira linha como pivô na coluna 3. Normalizamos L_3:
L_3 \leftarrow \tfrac{1}{2}L_3 = (0,0,1,-1).
Agora zeramos as entradas na coluna 3 nas outras linhas:
  • L_1 \leftarrow L_1 - 2L_3,
  • L_4 \leftarrow L_4 + 1L_3.
Cálculos:
L_1-2L_3 = (1,0,2,5) - 2(0,0,1,-1) = (1,0,0,7).
L_4+L_3 = (0,0,-1,1) + (0,0,1,-1) = (0,0,0,0).
A matriz escalonada final fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 7\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretando o resultado: a forma escalonada tem \,3 linhas não-nulas (ou seja, existem \,3 pivôs nas colunas 1,2,3). O posto (rank) da matriz A é o número de pivôs, portanto
\operatorname{rank}(A)=3.
Lembre-se: o posto das colunas é exatamente a dimensão do subespaço gerado pelas colunas, que é o que o enunciado pede.

Passo 8

Conclusão prática e incentivo: isso significa que entre os quatro vetores dados, apenas \,3 são linearmente independentes; o quarto é combinação linear dos três primeiros. Então o subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_3,v_4\} tem dimensão \,3. Mandou bem por continuar — a redução por linhas é uma ferramenta que, com prática, fica cada vez mais rápida!

Resposta

3

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