O problema pede: determinar a dimensão do espaço gerado (span) pelos quatro vetores abaixo. As informações dadas são os quatro vetores em \mathbb{R}^4:
A pergunta explícita é: qual é a dimensão de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}?
Passo 2
Vamos recapitular o que significa “dimensão do span” de forma didática. O conjunto \operatorname{span}\{v_1,\dots,v_k\} é o conjunto de todas as combinações lineares
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\dots+\alpha_k v_k,
onde \alpha_i são escalares reais. A dimensão desse espaço (o que nos pedem) é o número de vetores de uma base desse espaço, isto é, o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles. Uma forma prática de encontrar essa dimensão é montar uma matriz cujas colunas são os vetores dados e calcular o posto (rank) dessa matriz: o posto é exatamente a dimensão do subespaço gerado pelas colunas.
Passo 3
Escolhi usar eliminação de Gauss (redução por linhas) para encontrar o posto da matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4. Motivo: é um método direto, algébrico e eficiente para descobrir quantas colunas são linearmente independentes — cada coluna pivot corresponde a um vetor independente. Agora montamos a matriz A com as colunas sendo v_1,v_2,v_3,v_4:
Interpretando o resultado: a forma escalonada tem \,3 linhas não-nulas (ou seja, existem \,3 pivôs nas colunas 1,2,3). O posto (rank) da matriz A é o número de pivôs, portanto
\operatorname{rank}(A)=3.
Lembre-se: o posto das colunas é exatamente a dimensão do subespaço gerado pelas colunas, que é o que o enunciado pede.
Passo 8
Conclusão prática e incentivo: isso significa que entre os quatro vetores dados, apenas \,3 são linearmente independentes; o quarto é combinação linear dos três primeiros. Então o subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_3,v_4\} tem dimensão \,3. Mandou bem por continuar — a redução por linhas é uma ferramenta que, com prática, fica cada vez mais rápida!