Uma equação paramétrica do plano \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ;-2 x-3 y-5 z=5\right\}, onde s, t \in \mathbb{R} são parâmetros, é:
(\checkmark)\left(-1,1,-\frac{6}{5}\right)+t(-15,0,6)+s(0,-10,6)
(B) \left(-1,1,-\frac{6}{5}\right)+t(-17,0,8)+s(0,-17,9)
(C) \left(1,-1,-\frac{4}{5}\right)+t(-17,0,8)+s(0,-17,9)
(D) \left(1,-1,-\frac{4}{5}\right)+t(-16,0,7)+s(0,-23,15)
(E) \left(1,-1, \frac{1}{5}\right)+t(-16,0,7)+s(0,-23,15)
(F) \left(1,-1, \frac{1}{5}\right)+t(-15,0,6)+s(0,-10,6)

Passo 1

O enunciado dá o plano definido por -2x-3y-5z=5 e pede qual das alternativas apresenta uma equação paramétrica do plano na forma ponto + combinações lineares com parâmetros s,t\in\mathbb{R}. As informações relevantes são:
\text{plano: }-2x-3y-5z=5.
Cada alternativa fornece um ponto P_0 e dois vetores diretores v e w. Para que uma alternativa esteja correta precisamos que:
  1. O ponto P_0 pertença ao plano (ou seja, satisfaça a equação do plano).
  2. Os vetores v e w sejam vetores do plano (ou seja, ambos ortogonais ao vetor normal do plano).
  3. Os vetores v e w sejam linearmente independentes (para realmente gerarem o plano, não uma reta).

Passo 2

Relembrando a teoria necessária (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • O vetor normal do plano dado pela equação ax+by+cz=d é (a,b,c). Aqui o vetor normal é n = (-2,-3,-5).
  • Um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) está no plano se, ao substituir nas coordenadas, -2x_0-3y_0-5z_0=5 vale.
  • Um vetor v=(v_x,v_y,v_z) está no plano (é diretor do plano) se for ortogonal ao normal, i.e., o produto escalar n\cdot v = 0. O produto escalar é definido por
n\cdot v = (-2)\,v_x + (-3)\,v_y + (-5)\,v_z.
  • Vetores v e w são linearmente independentes se não existe \lambda\in\mathbb{R} tal que v=\lambda w. Um jeito prático de ver isso é observar se as componentes são proporcionais; se alguma componente de w for zero e a correspondente de v não for, então eles não podem ser múltiplos um do outro.
Vou aplicar essas regras a cada alternativa.

Passo 3

Calculo do vetor normal:
n = (-2,-3,-5).

Passo 4

Verificação da alternativa (A):
Ponto P_0 = \left(-1,1,-\frac{6}{5}\right). Substituo na equação do plano:
-2\left(-1\right) -3\left(1\right) -5\left(-\tfrac{6}{5}\right) = 2 -3 +6 =5.
Como o resultado é 5, o ponto pertence ao plano.
Vetores diretores v=(-15,0,6) e w=(0,-10,6).
Calculo n\cdot v:
n\cdot v = (-2)(-15) + (-3)(0) + (-5)(6) = 30 + 0 -30 = 0.
Calculo n\cdot w:
n\cdot w = (-2)(0) + (-3)(-10) + (-5)(6) = 0 +30 -30 = 0.
Ambos os produtos escalares são zero, logo v e w são vetores do plano.
Verifico independência linear: v_x=-15\neq 0 enquanto w_x=0. Como as componentes correspondentes não são proporcionais (um tem componente x nula e o outro não), não existe \lambda tal que v=\lambda w. Portanto v e w são linearmente independentes e geram o plano. Conclusão: a alternativa (A) satisfaz todas as condições.

Passo 5

Verificação da alternativa (B):
Ponto P_0 = \left(-1,1,-\frac{6}{5}\right) é o mesmo de (A), então pertence ao plano (já verificado).
Vetores v=(-17,0,8) e w=(0,-17,9).
Calculo n\cdot v:
n\cdot v = (-2)(-17) + (-3)(0) + (-5)(8) = 34 + 0 -40 = -6 \neq 0.
Como n\cdot v\neq 0, v não está no plano e, portanto, a alternativa (B) não é válida.

Passo 6

Verificação da alternativa (C):
Ponto P_0 = \left(1,-1,-\frac{4}{5}\right). Substituo:
-2(1) -3(-1) -5\left(-\tfrac{4}{5}\right) = -2 +3 +4 =5,
logo o ponto pertence ao plano. Vetores são os mesmos de (B): v=(-17,0,8) e w=(0,-17,9). Já vimos que n\cdot v = -6\neq 0, então v não está no plano e (C) é inválida.

Passo 7

Verificação da alternativa (D):
Ponto P_0 = \left(1,-1,-\frac{4}{5}\right) já verificamos que pertence ao plano.
Vetores v=(-16,0,7) e w=(0,-23,15).
Calculo n\cdot v:
n\cdot v = (-2)(-16) + (-3)(0) + (-5)(7) = 32 + 0 -35 = -3 \neq 0.
Assim v não está no plano e (D) é inválida.

Passo 8

Verificação da alternativa (E):
Ponto P_0 = \left(1,-1,\tfrac{1}{5}\right). Substituo na equação do plano:
-2(1) -3(-1) -5\left(\tfrac{1}{5}\right) = -2 +3 -1 =0 \neq 5.
O ponto não satisfaz a equação do plano, portanto (E) é inválida (não precisa verificar vetores).

Passo 9

Verificação da alternativa (F):
Ponto P_0 = \left(1,-1,\tfrac{1}{5}\right) é o mesmo de (E) e já vimos que não pertence ao plano, então (F) também é inválida, mesmo que seus vetores diretores satisfaçam a ortogonalidade.

Passo 10

Resumo das verificações:
  • (A): ponto no plano, vetores diretores ortogonais ao normal e linearmente independentes → válida.
  • (B),(C),(D): algum vetor diretor não é ortogonal ao normal → inválidas.
  • (E),(F): ponto não está no plano → inválidas.
Portanto só a alternativa (A) é correta.

Resposta

(A)

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