Uma equação paramétrica do plano
, onde
são parâmetros, é:
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado dá o plano definido por
e pede qual das alternativas apresenta uma equação paramétrica do plano na forma ponto + combinações lineares com parâmetros
. As informações relevantes são:
Cada alternativa fornece um ponto
e dois vetores diretores
e
. Para que uma alternativa esteja correta precisamos que:
- O ponto
pertença ao plano (ou seja, satisfaça a equação do plano). - Os vetores
e sejam vetores do plano (ou seja, ambos ortogonais ao vetor normal do plano). - Os vetores
e sejam linearmente independentes (para realmente gerarem o plano, não uma reta).
Passo 2
Relembrando a teoria necessária (passo-a-passo, sem pular etapas):
- O vetor normal do plano dado pela equação
é . Aqui o vetor normal é . - Um ponto
está no plano se, ao substituir nas coordenadas, vale. - Um vetor
está no plano (é diretor do plano) se for ortogonal ao normal, i.e., o produto escalar . O produto escalar é definido por
- Vetores
e são linearmente independentes se não existe tal que . Um jeito prático de ver isso é observar se as componentes são proporcionais; se alguma componente de for zero e a correspondente de não for, então eles não podem ser múltiplos um do outro.
Vou aplicar essas regras a cada alternativa.
Passo 3
Calculo do vetor normal:
Passo 4
Verificação da alternativa (A):
Ponto . Substituo na equação do plano:
Ponto
Como o resultado é
, o ponto pertence ao plano.
Vetores diretores
e
.
Calculo :
Calculo
Calculo
:
Ambos os produtos escalares são zero, logo
e
são vetores do plano.
Verifico independência linear:
enquanto
. Como as componentes correspondentes não são proporcionais (um tem componente x nula e o outro não), não existe
tal que
. Portanto
e
são linearmente independentes e geram o plano. Conclusão: a alternativa (A) satisfaz todas as condições.
Passo 5
Verificação da alternativa (B):
Ponto é o mesmo de (A), então pertence ao plano (já verificado).
Vetores e
.
Calculo :
Ponto
Vetores
Calculo
Como
,
não está no plano e, portanto, a alternativa (B) não é válida.
Passo 6
Verificação da alternativa (C):
Ponto . Substituo:
Ponto
logo o ponto pertence ao plano. Vetores são os mesmos de (B):
e
. Já vimos que
, então
não está no plano e (C) é inválida.
Passo 7
Verificação da alternativa (D):
Ponto já verificamos que pertence ao plano.
Vetores e
.
Calculo :
Ponto
Vetores
Calculo
Assim
não está no plano e (D) é inválida.
Passo 8
Verificação da alternativa (E):
Ponto . Substituo na equação do plano:
Ponto
O ponto não satisfaz a equação do plano, portanto (E) é inválida (não precisa verificar vetores).
Passo 9
Verificação da alternativa (F):
Ponto é o mesmo de (E) e já vimos que não pertence ao plano, então (F) também é inválida, mesmo que seus vetores diretores satisfaçam a ortogonalidade.
Ponto
Passo 10
Resumo das verificações:
- (A): ponto no plano, vetores diretores ortogonais ao normal e linearmente independentes → válida.
- (B),(C),(D): algum vetor diretor não é ortogonal ao normal → inválidas.
- (E),(F): ponto não está no plano → inválidas.
Portanto só a alternativa (A) é correta.
Resposta
(A)