Seja
. Sabendo que a derivada de
em
é igual a
, qual das seguintes afirmações é verdadeira?
possui inversa local
em uma vizinhança de
e
Passo 1
O exercício dá que g(3)=19 e que a derivada g′(3)=−5. Ele pergunta se y=g(x) tem inversa local x=h(y) perto de x=3 e qual é h′(19). O conteúdo principal é o Teorema da Função Inversa e a fórmula da derivada da inversa.
Passo 2
Pelo Teorema da Função Inversa, se g′(3)≠0 então g é localmente invertível em x=3. Aqui g′(3)=−5≠0, logo existe uma inversa local x=h(y) numa vizinhança de y=g(3)=19.
Passo 3
A fórmula da derivada da inversa diz que h′(y0)=1/g′(x0) onde y0=g(x0). Como x0=3 e y0=19, temos h′(19)=1/g′(3)=1/(−5)=−1/5.
Resposta
A afirmação é verdadeira: y=g(x) tem inversa local x=h(y) e h′(19)=−1/5.