Seja g(3)=19. Sabendo que a derivada de g em x=3 é igual a -5, qual das seguintes afirmações é verdadeira?
y=g(x) possui inversa local x=h(y) em uma vizinhança de x=3 e h^prime(19)=-5.

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos dá que e que a derivada de em é igual a . O conteúdo aqui envolve derivadas e funções inversas. Para resolver, precisamos entender como a derivada da função inversa se relaciona com a derivada da função original.

Passo 2

Primeiro, sabemos que se uma função tem uma inversa local em torno de um ponto, então . Nesse caso, nos diz que .

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada da inversa h'(y) = 1g'(x) em , usamos a regra das derivadas de funções inversas. A fórmula é:
onde .

Passo 4

Sabemos que h'(19) = 1g'(3) = 1-5 = -15 . Substituindo na fórmula:

Passo 5

O exercício afirma que -15 neq -5 . Comparando com nosso cálculo, vemos que:

Resposta

A afirmação não é verdadeira. A derivada da inversa em é , não .

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