Seja
. Sabendo que a derivada de
em
é igual a
, qual das seguintes afirmações é verdadeira?
possui inversa local
em uma vizinhança de
e
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício nos dá que
e que a derivada de
em
é igual a
. O conteúdo aqui envolve derivadas e funções inversas. Para resolver, precisamos entender como a derivada da função inversa se relaciona com a derivada da função original.
Passo 2
Primeiro, sabemos que se uma função
tem uma inversa local
em torno de um ponto, então
. Nesse caso,
nos diz que
.
Passo 3
Agora, para encontrar a derivada da inversa
em
, usamos a regra das derivadas de funções inversas. A fórmula é:
onde
.
Passo 4
Sabemos que
. Substituindo na fórmula:
Passo 5
O exercício afirma que
. Comparando com nosso cálculo, vemos que:
Resposta
A afirmação não é verdadeira. A derivada da inversa
em
é
, não
.