Considere a funçāo dada por
. Verifique se
é uma função diferenciável e justifique sua resposta. Em seguida, determine os pontos críticos de
e classifique-os como pontos onde
assume valor máximo valor mínimo ou ponto de sela.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função
. A gente precisa verificar se essa função é diferenciável, ou seja, se ela tem derivadas parciais contínuas. Depois, vamos encontrar os pontos críticos dessa função e ver se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial como derivadas parciais, pontos críticos e classificação de pontos extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é diferenciável. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e ver se elas são contínuas.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Ambas as derivadas parciais são polinomiais, e polinômios são funções contínuas em todo o domínio. Portanto, as derivadas parciais de
são contínuas, o que significa que
é uma função diferenciável em todo o
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos de
. Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais são iguais a zero, ou seja, onde:
Vamos resolver o sistema:
Portanto, temos quatro combinações possíveis de
e
:
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular o discriminante
:
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
Então, o discriminante fica:
Agora, vamos avaliar
em cada ponto crítico:
- Em
:
Como
e
, é um ponto de mínimo.
- Em
:
Como
, é um ponto de sela.
- Em
:
Como
, é um ponto de sela.
- Em
:
Como
e
, é um ponto de máximo.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o
. Os pontos críticos são:
-
ponto de mínimo; -
ponto de sela; -
ponto de sela; -
ponto de máximo.