Considere a funçāo dada por f(x, y)=x^3+2 y^3-9 x-24 y. Verifique se f é uma função diferenciável e justifique sua resposta. Em seguida, determine os pontos críticos de f e classifique-os como pontos onde f assume valor máximo valor mínimo ou ponto de sela.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função . A gente precisa verificar se essa função é diferenciável, ou seja, se ela tem derivadas parciais contínuas. Depois, vamos encontrar os pontos críticos dessa função e ver se eles são máximos, mínimos ou pontos de sela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial como derivadas parciais, pontos críticos e classificação de pontos extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função fx = partial fpartial x = 3x^2 - 9 é diferenciável. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de fy = partial fpartial y = 6y^2 - 24 em relação a e e ver se elas são contínuas.
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Ambas as derivadas parciais são polinomiais, e polinômios são funções contínuas em todo o domínio. Portanto, as derivadas parciais de são contínuas, o que significa que é uma função diferenciável em todo o .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos de fx = 0 e fy = 0 . Pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais são iguais a zero, ou seja, onde:
3x^2 - 9 = 0 Rightarrow x^2 = 3 Rightarrow x = raiz3 ou x = -raiz3
Vamos resolver o sistema:
6y^2 - 24 = 0 Rightarrow y^2 = 4 Rightarrow y = 2 ou y = -2
Portanto, temos quatro combinações possíveis de e :

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos. Para isso, usamos o teste da segunda derivada, que envolve calcular o discriminante D = fxx fyy - (fxy)^2 :
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 12y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 0
D = (6x)(12y) - (0)^2 = 72xy
Então, o discriminante fica:
D = 72 times raiz3 times 2 = 144raiz3 > 0
Agora, vamos avaliar D = 72 times raiz3 times (-2) = -144raiz3 < 0 em cada ponto crítico:
  1. Em D = 72 times (-raiz3) times 2 = -144raiz3 < 0 :
D = 72 times (-raiz3) times (-2) = 144raiz3 > 0
Como e , é um ponto de mínimo.
  1. Em :
Como , é um ponto de sela.
  1. Em :
Como , é um ponto de sela.
  1. Em :
Como e , é um ponto de máximo.

Resposta

A função é diferenciável em todo o . Os pontos críticos são:
  • ponto de mínimo;
  • ponto de sela;
  • ponto de sela;
  • ponto de máximo.

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