Seja
F(x, y)=(-yx^2+y^2, xx^2+y^2)
Calcule ointC F d r, onde C é a fronteira do quadrado D=[-1,1] times[-1,1], orientada no sentido antihorário.

Passo 1

Vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos calcular a integral de linha , onde é o contorno do quadrado , orientado no sentido antihorário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha fechadas com integrais duplas sobre a região limitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o Teorema de Green, que diz que:
ointC (P , dx + Q , dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Onde . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( xx^2 + y^2 ) = (1)(x^2 + y^2) - x(2x)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2
E,
partial Ppartial y = partialpartial y ( -yx^2 + y^2 ) = -(1)(x^2 + y^2) - y(2y)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 + y^2 - 2y^2(x^2 + y^2)^2 = -x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, vamos calcular -x^2 + y^2(x^2 + y^2)^2 - ( -x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2 ) = -x^2+y^2 + x^2 - y^2(x^2 + y^2)^2 = 0(x^2 + y^2)^2 = 0 :

Passo 5

Como a expressão integral duplaD 0 , dx , dy = 0 , a integral dupla sobre a região será zero:

Resposta

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