Seja
Calcule
, onde
é a fronteira do quadrado
, orientada no sentido antihorário.
Passo 1
Vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
e precisamos calcular a integral de linha
, onde
é o contorno do quadrado
, orientado no sentido antihorário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha fechadas com integrais duplas sobre a região limitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o Teorema de Green, que diz que:
Onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
E,
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Como a expressão
, a integral dupla sobre a região
será zero: