Dê equações paramétricas para a curva
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a equação $ 9x^{2} - 4y^{2} + 90x + 32y + 125 = 0 $ e precisa encontrar equações paramétricas para essa curva. Isso envolve entender que tipo de curva estamos lidando e como podemos expressar $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro, que geralmente chamamos de $ t $. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, especialmente completando quadrados, para simplificar a equação da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de $ x $ e os termos de $ y $:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de $ x $ e de $ y $. Isso significa que vamos reescrever os termos quadráticos de forma que fiquem no formato $ a(x - h)^{2} $ e $ b(y - k)^{2} $.
Para $ x $:
Fatoramos o coeficiente de $ x^{2} $:
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos metade do coeficiente de $ x $, que é 10, dividimos por 2 para obter 5, e elevamos ao quadrado para obter 25:
Passo 4
Agora, para $ y $:
Fatoramos o coeficiente de $ y^{2} $:
Completando o quadrado, pegamos metade de 8, que é 4, e elevamos ao quadrado para obter 16:
Passo 5
Substituímos essas expressões de volta na equação original:
Simplificamos os termos constantes:
Adicionamos 161 em ambos os lados:
Passo 6
Agora, dividimos toda a equação por 36 para simplificar:
Simplificando as frações:
Passo 7
Essa é a equação padrão de uma hipérbole com eixo horizontal, que tem a forma:
Comparando com a nossa equação, identificamos:
- Centro da hipérbole: $ (h, k) = (-5, 4) $
- $ a^{2} = 4 $ então $ a = 2 $
- $ b^{2} = 9 $ então $ b = 3 $
Passo 8
Para uma hipérbole com eixo horizontal, as equações paramétricas podem ser escritas usando o parâmetro hiperbólico $ t $:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
As equações paramétricas para a curva são: