Dê equações paramétricas para a curva
  • 9 x^2-4 y^2+90 x+32 y+125=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a equação $ 9x^{2} - 4y^{2} + 90x + 32y + 125 = 0 $ e precisa encontrar equações paramétricas para essa curva. Isso envolve entender que tipo de curva estamos lidando e como podemos expressar $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro, que geralmente chamamos de $ t $. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra, especialmente completando quadrados, para simplificar a equação da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de $ x $ e os termos de $ y $:
x

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de $ x $ e de $ y $. Isso significa que vamos reescrever os termos quadráticos de forma que fiquem no formato $ a(x - h)^{2} $ e $ b(y - k)^{2} $.
Para $ x $:
Fatoramos o coeficiente de $ x^{2} $:
x
Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos metade do coeficiente de $ x $, que é 10, dividimos por 2 para obter 5, e elevamos ao quadrado para obter 25:
y

Passo 4

Agora, para $ y $:
Fatoramos o coeficiente de $ y^{2} $:
y
Completando o quadrado, pegamos metade de 8, que é 4, e elevamos ao quadrado para obter 16:
y^2

Passo 5

Substituímos essas expressões de volta na equação original:
9(x + 5)^2 - 225 - 4(y - 4)^2 + 64 = -125
Simplificamos os termos constantes:
9(x + 5)^2 - 4(y - 4)^2 - 161 = -125
Adicionamos 161 em ambos os lados:
9(x + 5)^2 - 4(y - 4)^2 = 36

Passo 6

Agora, dividimos toda a equação por 36 para simplificar:
9(x + 5)^236 - 4(y - 4)^236 = 1
Simplificando as frações:
(x + 5)^24 - (y - 4)^29 = 1

Passo 7

Essa é a equação padrão de uma hipérbole com eixo horizontal, que tem a forma:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação, identificamos:
  • Centro da hipérbole: $ (h, k) = (-5, 4) $
  • $ a^{2} = 4 $ então $ a = 2 $
  • $ b^{2} = 9 $ então $ b = 3 $

Passo 8

Para uma hipérbole com eixo horizontal, as equações paramétricas podem ser escritas usando o parâmetro hiperbólico $ t $:
t
x = h + a sec(t)
Substituindo os valores que encontramos:
y = k + b tan(t)
x = -5 + 2 sec(t)

Resposta

As equações paramétricas para a curva são:
x = -5 + 2,sec(t)
y = 4 + 3,tan(t)

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