$(15) (15)

Passo 1

Vamos resolver a integral integral(3x - 2)^3 , dx. Esse problema faz parte do cálculo integral, especificamente da integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos usar a técnica de substituição, que simplifica a integração de expressões complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da integral. Vamos chamar u = 3x - 2. Isso significa que estamos definindo uma nova variável u que facilita a nossa integral.

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para fazer a substituição completa. Calculando, temos:
dudx = 3 Rightarrow du = 3 , dx Rightarrow dx = du3
Isso nos ajuda a expressar dx em termos de du, o que é necessário para a substituição na integral.

Passo 4

Agora, substituímos u e dx na integral original:
integral(3x - 2)^3 , dx = integral u^3 cdot du3 = 13 integral u^3 , du
Isso simplifica a integral para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 5

Vamos integrar u^3 em relação a u:
13 integral u^3 , du = 13 cdot u^44 = u^412
Aqui, usamos a regra de integração para potências, que é integral u^n , du = u^n+1n+1 + C.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para expressar a resposta em termos de x:
u^412 = (3x - 2)^412

Resposta

A integral integral(3x - 2)^3 , dx é igual a (3x - 2)^412 + C, onde C é a constante de integração.

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