Sejam Q \subset R o conjunto dos números racionais e g: R \rightarrow R a função definida por
g(x)=\left\{\begin{array}{r} f(x), \text { se } x \in Q \\\\ 81, \text { se } x \notin Q \end{array}\right.
em que f: R \rightarrow R é a função dada por f(x)=\left(x^{2}-9\right)^{2}. Julgue os itens abaixo:
(0) g é contínua em apenas três pontos: -3 \sqrt{2}, 0,3 \sqrt{2}.
(1) g é descontínua em todos os pontos x \in R.
(2) f é convexa no intervalo (0, \infty).
(3) f(x) \geq f(3)=f(-3), para todo \mathrm{x} \in R.
(4) f é uma função crescente no intervalo [0,3] e no ponto x=0, possui um máximo local.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que julguemos cada item:
  • O conjunto dos racionais é Q \subset \mathbb{R}\). - A função \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) é definida por \[f(x)=\left(x^{2}-9\right)^{2}.
  • A função g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é dada por
g(x)=\begin{cases} f(x), &\text{se } x\in Q,\\[4pt] 81, &\text{se } x\notin Q. \end{cases}
As afirmações a serem julgadas são:
(0) g\] é contínua em apenas três pontos: \(-3\sqrt{2},\,0,\,3\sqrt{2}.
(1) g é descontínua em todos os pontos x\in\mathbb{R}.
(2) f é convexa no intervalo (0,\infty).
(3) f(x)\ge f(3)=f(-3) para todo x\in\mathbb{R}.
(4) f é crescente no intervalo [0,3] e no ponto x=0 possui um máximo local.]

Passo 2

Primeiro vamos estudar propriedades básicas de f. É importante saber que polinômios são funções contínuas e diferenciáveis em toda \mathbb{R}. Vamos expandir e derivar f para ter ferramentas de monotonicidade e convexidade:
f(x)=(x^{2}-9)^{2}=x^{4}-18x^{2}+81.
Calculemos a derivada primeira usando regras de derivação (derivada de x^n é n x^{n-1}):
f'(x)=4x^{3}-36x=4x(x^{2}-9)=4x(x-3)(x+3).
Isto nos dá os pontos críticos em x=0,\,3,\,-3.
Agora a derivada segunda (usada para convexidade e concavidade):
f''(x)=12x^{2}-36=12(x^{2}-3).
Observação didática: f''(x) positivo indica concavidade para cima (convexidade local), f''(x) negativo indica concavidade para baixo.

Passo 3

Vamos analisar a continuidade de g. Ideia chave: os racionais Q e os irracionais \mathbb{R}\setminus Q são densos em \mathbb{R}. Isso significa que, para qualquer ponto a, existem sequências racionais x_n\in Q e sequências irracionais y_n\notin Q convergindo para a. Portanto, ao calcular \lim_{x\to a} g(x) temos duas informações distintas ao aproximar por racionais e irracionais:
  • Aproximando por racionais: g(x_n)=f(x_n) e, como f é contínua, \lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(a). Logo a contribuição dos racionais tende a f(a).
  • Aproximando por irracionais: g(y_n)=81 para todo n, então a contribuição dos irracionais tende a 81.
    Para que \lim_{x\to a} g(x) exista (e então g seja contínua em a), é necessário que essas duas contribuições coincidam, ou seja:
f(a)=81.
Como f é contínua, se f(a)=81 então tanto as aproximações por racionais quanto por irracionais dão o mesmo valor limite e portanto g será contínua em a. Conclusão prática: g é contínua em exatamente os pontos a onde f(a)=81.

Passo 4

Resolvamos a equação f(a)=81:
f(a)=(a^{2}-9)^{2}=81.
Tirando raiz quadrada (lembrando de considerar os dois sinais):
a^{2}-9=\pm 9.
Caso a^{2}-9=9 a^{2}=18 logo a=\pm 3\sqrt{2}.
Caso a^{2}-9=-9 a^{2}=0 logo a=0.
Portanto as soluções são
a\in\{-3\sqrt{2},\;0,\;3\sqrt{2}\}.
Como vimos no passo anterior, g é contínua exatamente nesses pontos. Em qualquer outro ponto b teremos f(b)\ne 81 e, por densidade de racionais e irracionais, os limites laterais (ou melhor, os limites aproximando-se por racionais e irracionais) não coincidem, então g é descontínua em b.

Passo 5

Com base nos passos anteriores julgamos os itens (0) e (1):
  • O item (0) afirma que g é contínua apenas em -3\sqrt{2},0,3\sqrt{2}. Pelo passo 4 isso é verdadeiro.
  • O item (1) afirma que g é descontínua em todos os pontos. Isso é falso, porque há exatamente três pontos onde g é contínua.

Passo 6

Agora avaliemos a convexidade de f no intervalo (0,\infty). Lembrando: uma função duas vezes diferenciável é convexa num intervalo se e só se f''(x)\ge 0 para todo x nesse intervalo. Temos
f''(x)=12(x^{2}-3).
No intervalo (0,\infty) o sinal de f'' depende de x^{2}-3:
  • Se 0<x<\sqrt{3} então x^{2}-3<0 e assim f''(x)<0, indicando concavidade para baixo nessa região.
  • Se x>\sqrt{3} então x^{2}-3>0 e f''(x)>0, indicando convexidade para cima nessa região.
    Portanto f não é convexa em todo (0,\infty) (ela só é convexa em (\sqrt{3},\infty)). Logo o item (2) é falso.

Passo 7

Julguemos o item (3): a afirmação é f(x)\ge f(3)=f(-3) para todo x\in\mathbb{R}. Calculemos f(3):
f(3)=(3^{2}-9)^{2}=(9-9)^{2}=0.
Como f(x)=(x^{2}-9)^{2} é um quadrado, temos f(x)\ge 0 para todo x. Portanto f(x)\ge 0=f(3)=f(-3) para todo x, e o item (3) é verdadeiro.

Passo 8

Finalmente o item (4) trata de monotonicidade em [0,3] e de um máximo local em x=0.
Usamos f'(x)=4x(x^{2}-9).
  • Para x\in(0,3) temos x>0 e x^{2}-9<0, então f'(x)<0. Isso significa que f é estritamente decrescente em (0,3). Consequentemente a afirmação de que f é crescente em [0,3] é falsa.
  • Sobre x=0: avaliando f em 0 obtemos f(0)=81. Para x pequeno não nulo, f(x)=81-18x^{2}+x^{4}<81 (o termo -18x^{2} domina para x pequeno), então f(0) é maior que valores próximos — isto é, x=0 é um máximo local. Outra maneira: f'(0)=0 e f''(0)=12(0^{2}-3)=-36<0, sinal do segundo derivado negativo indica máximo local. Assim a parte da afirmação que diz “no ponto x=0, possui um máximo local” é verdadeira, mas a parte que diz “ f é crescente no intervalo [0,3]” é falsa. Portanto o item (4) é falso (porque contém uma proposição falsa).

Resposta

(0) Verdadeiro
(1) Falso
(2) Falso
(3) Verdadeiro
(4) Falso

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