Seja
, determine:
Passo 1
Beleza, o problema dá quatro números complexos
A = 3 – j 7,
B = 5 + j 9,
C = 8 e^(–j 90°) e
D = 5∠60°,
e pede
{(B + C)² / [(D* – A* + C)²]}
Ou seja, soma, quadrado, conjugado, divisão e mais conjugado.
Conteúdo: operações com números complexos (forma retangular e polar), conjugado e propriedades de conjugação. Vamos precisar converter polar↔retangular, somar, aplicar conj(a/b)=conj(a)/conj(b) e conj(conj(z))=z.
A = 3 – j 7,
B = 5 + j 9,
C = 8 e^(–j 90°) e
D = 5∠60°,
e pede
{(B + C)² / [(D* – A* + C)²]}
Ou seja, soma, quadrado, conjugado, divisão e mais conjugado.
Conteúdo: operações com números complexos (forma retangular e polar), conjugado e propriedades de conjugação. Vamos precisar converter polar↔retangular, somar, aplicar conj(a/b)=conj(a)/conj(b) e conj(conj(z))=z.
Passo 2
Simplificar usando propriedades de conjugado:
Se Z = (B + C)² / [(D* – A* + C)²]* então
Z* = [(B + C)²]* / [( (D* – A* + C)²* )* ]
mas (W*)* = W, então o denominador fica (D* – A* + C)².
E [(B + C)²]* = ( (B + C)* )².
Logo o que precisamos é
( (B + C)* )²
─────────────────
(D* – A* + C)²
Se Z = (B + C)² / [(D* – A* + C)²]* então
Z* = [(B + C)²]* / [( (D* – A* + C)²* )* ]
mas (W*)* = W, então o denominador fica (D* – A* + C)².
E [(B + C)²]* = ( (B + C)* )².
Logo o que precisamos é
( (B + C)* )²
─────────────────
(D* – A* + C)²
Passo 3
-
Calcular B + C:
C = 8 e^(–j 90°) = –j 8
⇒ B + C = (5 + j 9) + (–j 8) = 5 + j (9 – 8) = 5 + j 1 -
O conjugado:
(B + C)* = 5 – j 1 -
Agora o numerador ao quadrado:
( (B + C)* )² = (5 – j 1)² = 5² + (–j1)² + 2·5·(–j1)
= 25 – 1 – j 10
= 24 – j 10
Passo 4
Calcular o denominador: Z = D* – A* + C
- A* = (3 – j 7)* = 3 + j 7
- D = 5∠60° ⇒ D* = 5∠(–60°) = 2.5 – j 4.3301
- C = – j 8
Logo
Z = (2.5 – j 4.3301) – (3 + j 7) + (– j 8)
= 2.5 – 3 + j(–4.3301 – 7 – 8)
= –0.5 – j 19.3301
Z = (2.5 – j 4.3301) – (3 + j 7) + (– j 8)
= 2.5 – 3 + j(–4.3301 – 7 – 8)
= –0.5 – j 19.3301
Agora Z² = (–0.5 – j 19.3301)²
= (–0.5)² – (19.3301)² + j·2·(–0.5)·(–19.3301)
≈ 0.25 – 373.79 + j·19.3301
≈ –373.54 + j 19.33
= (–0.5)² – (19.3301)² + j·2·(–0.5)·(–19.3301)
≈ 0.25 – 373.79 + j·19.3301
≈ –373.54 + j 19.33
Passo 5
Dividir numerador por denominador:
24 – j 10
───────────────
–373.54 + j 19.33
24 – j 10
───────────────
–373.54 + j 19.33
Multiplicando cima e baixo pelo conjugado do denominador:
Numerador resultante ≈ –9158.2 + j 3271.5
Módulo do denominador² ≈ (–373.54)² + (19.33)² ≈ 1.399×10^5
Numerador resultante ≈ –9158.2 + j 3271.5
Módulo do denominador² ≈ (–373.54)² + (19.33)² ≈ 1.399×10^5
⇒ resultado ≈ (–9158.2 + j 3271.5)/(1.399×10^5)
≈ –0.0654 + j 0.0234
≈ –0.0654 + j 0.0234
Resposta
–0.0654 + j 0.0234 (aproximadamente)