Seja ABCD uma pirâmide de arestas \mathrm{AB}=\mathrm{AD}=\mathrm{BD}= \mathrm{CD}=5, \mathrm{BC}=7 e \mathrm{AC}=8. Calcule o raio da esfera inscrita ao sólido.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide (tetraedro) ABCD cujas arestas valem
AB=AD=BD=CD=5,\quad BC=7,\quad AC=8
e pede o raio r da esfera inscrita.
O conteúdo da matéria é geometria espacial: vamos usar a fórmula do raio da esfera inscrita em um tetraedro,
V = \tfrac{1}{3}\,r\,S \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{3V}{S},
onde V é o volume do tetraedro e S sua área total.

Passo 2

Para achar o volume V, colocamos o triângulo ABD no plano xy como equilátero de lado 5:
A=(0,0,0),\; B=(5,0,0),\; D=\Bigl(\tfrac{5}{2},\tfrac{5\sqrt3}{2},0\Bigr).
Se C=(x,y,z) satisfaz \|C-A\|=8, \|C-B\|=7, \|C-D\|=5, obtém-se
x=4,\quad y=\frac{44\sqrt3}{15},\quad z=\sqrt{\frac{1664}{75}}.
Então, usando o produto misto
V = \frac{1}{6}\bigl[(B-A)\times(D-A)\bigr]\cdot(C-A) = \frac{10\sqrt{26}}{3}.

Passo 3

Agora calculamos a área de cada face e somamos:
  1. Face ABD: equilátero de lado 5,
\text{área}_{ABD} = \frac{\sqrt3}{4}\,5^2 = \frac{25\sqrt3}{4}.á
  1. Face ABC: lados 5,7,8, semiperímetro s=10,
\text{área}_{ABC} = \sqrt{10\,(10-5)\,(10-7)\,(10-8)} = 10\sqrt3.á
  1. Face ACD: isósceles com lados iguais 5 e base 8, altura \sqrt{5^2-4^2}=3,
\text{área}_{ACD} = \tfrac12\cdot8\cdot3 = 12.á
  1. Face BCD: isósceles com lados iguais 5 e base 7, altura \sqrt{5^2-(3,5)^2}=\tfrac{\sqrt{51}}{2},
\text{área}_{BCD} = \tfrac12\cdot7\cdot\frac{\sqrt{51}}{2} = \frac{7\sqrt{51}}{4}.á
Somando,
S = \frac{25\sqrt3}{4} + 10\sqrt3 + 12 + \frac{7\sqrt{51}}{4} = \frac{65\sqrt3 + 7\sqrt{51}}{4} + 12.

Passo 4

Finalmente o raio inscrito é
r = \frac{3V}{S} = \frac{3\cdot\frac{10\sqrt{26}}{3}}{\displaystyle\frac{65\sqrt3 + 7\sqrt{51}}{4} + 12} = \frac{10\sqrt{26}}{\displaystyle\frac{65\sqrt3 + 7\sqrt{51}}{4} + 12} = \frac{40\sqrt{26}}{48 + 65\sqrt3 + 7\sqrt{51}}.

Resposta

r \;=\; \frac{40\sqrt{26}}{48 + 65\sqrt{3} + 7\sqrt{51}}\;\approx\;0{,}969

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