Seja ABCD uma pirâmide de arestas
e
. Calcule o raio da esfera inscrita ao sólido.
Passo 1
O enunciado dá uma pirâmide (tetraedro)
cujas arestas valem
e pede o raio
da esfera inscrita.
O conteúdo da matéria é geometria espacial: vamos usar a fórmula do raio da esfera inscrita em um tetraedro,
O conteúdo da matéria é geometria espacial: vamos usar a fórmula do raio da esfera inscrita em um tetraedro,
onde
é o volume do tetraedro e
sua área total.
Passo 2
Para achar o volume
, colocamos o triângulo
no plano
como equilátero de lado
:
Se
satisfaz
,
,
, obtém-se
Então, usando o produto misto
Passo 3
Agora calculamos a área de cada face e somamos:
- Face
: equilátero de lado ,
- Face
: lados , semiperímetro ,
- Face
: isósceles com lados iguais e base , altura ,
- Face
: isósceles com lados iguais e base , altura ,
Somando,
Passo 4
Finalmente o raio inscrito é