Oito dos vértices de um dodecaedro regular de aresta 1 são vértices de um cubo. Qual é o volume desse cubo?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado diz que temos um dodecaedro regular de aresta 1 e que oito de seus vértices formam os vértices de um cubo. O conteúdo aqui é reconhecer a posição padrão dos vértices do dodecaedro em termos do número áureo
e encontrar a escala que leva a aresta original (na configuração padrão) a 1, para então extrair o lado do cubo e, por fim, seu volume.
e encontrar a escala que leva a aresta original (na configuração padrão) a 1, para então extrair o lado do cubo e, por fim, seu volume.
Passo 2
Uma forma habitual de colocar um dodecaedro de aresta
centrado na origem usa os vértices
Nessa configuração, a aresta do dodecaedro vale
Passo 3
Como queremos a aresta do dodecaedro igual a 1, aplicamos fator de escala
pois
. Assim cada vértice
vira
.
Passo 4
Os oito vértices
formam um cubo de aresta
. Logo o lado do cubo é
Passo 5
O volume do cubo de aresta
é
Resposta
(que não aparece explicitamente nas alternativas fornecidas)