Oito dos vértices de um dodecaedro regular de aresta 1 são vértices de um cubo. Qual é o volume desse cubo?
a) \frac{1+\sqrt{5}}{2}
b) \sqrt{5}
c) \frac{3+\sqrt{5}}{2}
d) 1+\sqrt{5}

Passo 1

O enunciado diz que temos um dodecaedro regular de aresta 1 e que oito de seus vértices formam os vértices de um cubo. O conteúdo aqui é reconhecer a posição padrão dos vértices do dodecaedro em termos do número áureo \displaystyle\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}
e encontrar a escala que leva a aresta original (na configuração padrão) a 1, para então extrair o lado do cubo e, por fim, seu volume.

Passo 2

Uma forma habitual de colocar um dodecaedro de aresta \displaystyle \tfrac{2}{\varphi} centrado na origem usa os vértices
(\pm1,\pm1,\pm1) \quad\text{e}\quad (0,\pm\tfrac1\varphi,\pm\varphi),\;(\pm\tfrac1\varphi,\pm\varphi,0),\;(\pm\varphi,0,\pm\tfrac1\varphi).
Nessa configuração, a aresta do dodecaedro vale
\sqrt{6-2\sqrt5} \;=\;\frac{2}{\varphi}.

Passo 3

Como queremos a aresta do dodecaedro igual a 1, aplicamos fator de escala
s=\frac{\varphi}{2},
pois s\cdot\frac{2}{\varphi}=1. Assim cada vértice (\pm1,\pm1,\pm1) vira \bigl(\pm\tfrac\phi2,\pm\tfrac\phi2,\pm\tfrac\phi2\bigr).

Passo 4

Os oito vértices \bigl(\pm1,\pm1,\pm1\bigr) formam um cubo de aresta 2\cdot\tfrac\phi2=\varphi. Logo o lado do cubo é
\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}.

Passo 5

O volume do cubo de aresta \varphi é
\varphi^3 =\biggl(\frac{1+\sqrt5}{2}\biggr)^3 =2+\sqrt5.

Resposta

\displaystyle 2+\sqrt5
(que não aparece explicitamente nas alternativas fornecidas)

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