Seja ABCDEF um hexágono regular (todos os lados possuem mesma medida e todos os ângulos internos medem 120^{\circ} ). No interior do hexágono são construídos os quadrados ABGH e CDIJ.
Determine as medidas dos ângulos do triângulo GIJ.

Passo 1

Resumindo: temos um hexágono regular ABCDEF de lado 1 e ângulos internos de 120^\circ. No interior construímos o quadrado ABGH sobre o lado AB e o quadrado CDIJ sobre o lado CD. Queremos os ângulos do triângulo GIJ. Para resolver, usaremos coordenadas no plano, cálculo de distâncias e produto escalar para achar os cossenos dos ângulos.

Passo 2

Escolhemos coordenadas convenientes para o hexágono de lado 1 com base horizontal AB:
A = (0,0)
B = (1,0)
C = \bigl(\tfrac32,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)
D = (1,\sqrt3)
E = (0,\sqrt3)
F = \bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)

Passo 3

Construção dos quadrados interiores:
  • Sobre AB giramos o vetor \overrightarrow{AB}=(1,0) em +90^\circ para dentro, obtendo (0,1).
    Assim
    G = B + (0,1) = (1,1),
    H = A + (0,1) = (0,1).
  • Sobre CD temos \overrightarrow{CD}=D-C=\bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr). Girando em +90^\circ \bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12\bigr).
    Então
    I = D + \bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12\bigr)
    = \bigl(1-\tfrac{\sqrt3}{2},\;\sqrt3-\tfrac12\bigr),
    J = C + \bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12\bigr)
    = \bigl(\tfrac32-\tfrac{\sqrt3}{2},\;\tfrac{\sqrt3}{2}-\tfrac12\bigr).

Passo 4

Calculamos as distâncias entre G,I,J (usando seus valores numéricos aproximados quando necessário):
IJ = 1,\qquad GI \approx 0{,}8979,\qquad GJ \approx 0{,}7320.

Passo 5

Usamos produto escalar para obter os cossenos dos ângulos:
  • No vértice I,
    \displaystyle\cos\angle GIJ = \frac{(G-I)\cdot(J-I)}{|G-I|\;|J-I|} \approx 0{,}7071 \angle GIJ=45^\circ.
  • No vértice J,
    \displaystyle\cos\angle GJI = \frac{(G-J)\cdot(I-J)}{|G-J|\;|I-J|} =0{,}5 \angle GJI=60^\circ.
  • Finalmente
    \angle IGJ = 180^\circ - (45^\circ+60^\circ)=75^\circ.

Resposta

\displaystyle \angle GIJ=45^\circ,\quad \angle GJI=60^\circ,\quad \angle IGJ=75^\circ.

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