Para quantos naturais \mathbf{n} existe um n-ágono com ângulos internos em graus de medidas inteiras e formando progressão aritmética de razão positiva?

Passo 1

O enunciado pede: para quais naturais n existe um polígono convexo de n lados cujos ângulos internos, em graus, são inteiros que formam uma progressão aritmética de razão positiva. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um n-ágono convexo é (n-2)\,180^\circ. Vamos usar essa soma, a forma da progressão e as condições de integralidade e convexidade (ângulos em (0,180)) para encontrar todos os n.

Passo 2

Se os ângulos são
a,\;a+d,\;a+2d,\;\dots,\;a+(n-1)d,
com d>0 inteiro, então
n\,a \;+\; d\,\frac{n(n-1)}{2} \;=\; 180\,(n-2).
Isolando a, obtemos
a \;=\; 180 \;-\;\frac{360}{n}\;-\;d\,\frac{n-1}{2}.

Passo 3

Para que a seja inteiro precisamos que
  1. \tfrac{360}{n} seja inteiro, ou seja, n\mid360.
  2. \tfrac{d\,(n-1)}{2} seja inteiro, logo se n-1 é ímpar então d deve ser par; se n-1 é par, d pode ser qualquer inteiro.
    Além disso, a convexidade exige
a>0 \quad\text{e}\quad a+(n-1)d<180.

Passo 4

Essas duas desigualdades impõem um limite em d\). Depois de manipular, chega-se a \[d < \begin{cases} \displaystyle \frac{360(n-2)}{n(n-1)}, & n\le 4,\\[1em] \displaystyle \frac{720}{n(n-1)}, & n\ge5. \end{cases}
Portanto há solução se existir pelo menos um inteiro (d>0] que respeite essa cota e a condição de paridade.]

Passo 5

Como n\mid360 e n\ge3, os candidatos são os divisores de 360 maiores ou iguais a 3. Para n\ge20 nota-se que \tfrac{720}{n(n-1)}<2, de modo que o único d\in\mathbb Z^+ possível seria d=1; mas para todos esses n a condição de paridade ou o fato de a cota ficar abaixo de 1 elimina esse caso.
Logo só restam os divisores de 360 com 3\le n\le18, que são
3,4,5,6,8,9,10,12,15,18.
Cada um deles admite um d pequeno (por exemplo d=1 ou d=2) que gera a>0 e faz o maior ângulo ficar abaixo de 180\circ.

Resposta

Existem 10 valores de n.

Exercícios relacionados