Para quantos naturais
existe um n-ágono com ângulos internos em graus de medidas inteiras e formando progressão aritmética de razão positiva?
Passo 1
O enunciado pede: para quais naturais
existe um polígono convexo de
lados cujos ângulos internos, em graus, são inteiros que formam uma progressão aritmética de razão positiva. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um
-ágono convexo é
. Vamos usar essa soma, a forma da progressão e as condições de integralidade e convexidade (ângulos em
) para encontrar todos os
.
Passo 2
Se os ângulos são
com
inteiro, então
Isolando
, obtemos
Passo 3
Para que
seja inteiro precisamos que
-
seja inteiro, ou seja, . -
seja inteiro, logo se é ímpar então deve ser par; se é par, pode ser qualquer inteiro.
Além disso, a convexidade exige
Passo 4
Essas duas desigualdades impõem um limite em
Portanto há solução se existir pelo menos um inteiro (d>0] que respeite essa cota e a condição de paridade.]
Passo 5
Como
e
, os candidatos são os divisores de 360 maiores ou iguais a 3. Para
nota-se que
, de modo que o único
possível seria
; mas para todos esses
a condição de paridade ou o fato de a cota ficar abaixo de 1 elimina esse caso.
Logo só restam os divisores de 360 com , que são
Logo só restam os divisores de 360 com
Cada um deles admite um
pequeno (por exemplo
ou
) que gera
e faz o maior ângulo ficar abaixo de
.
Resposta
Existem
valores de
.