Seja ABCDEFGH um cubo unitário, com faces opostas ABCD e EFGH e arestas AE, BF, CG e DH. Sejam M e N os pontos médios de BF e CG , respectivamente.
Calcule a distância entre as retas AG e MN.

Passo 1

O enunciado dá um cubo unitário ABCDEFGH e pede a distância entre as retas AG e MN, onde M e N são os pontos médios de BF e CG, respetivamente. O conteúdo necessário é geometria no espaço: usar coordenadas, vetores diretores e a fórmula da distância entre retas reversas (não paralelas, não coincidentes).

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas: \displaystyle A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1,1,0), F=(1,0,1), G=(1,1,1).
Como M é o ponto médio de BF e N o de CG, temos \displaystyle M=\bigl(1,0,\tfrac12\bigr) e \displaystyle N=\bigl(1,1,\tfrac12\bigr).

Passo 3

Para aplicar a fórmula da distância entre retas reversas, definimos vetores diretores e vetor de ligação: \displaystyle \overrightarrow{u}=\overrightarrow{AG}=G-A=(1,1,1), \displaystyle \overrightarrow{v}=\overrightarrow{MN}=N-M=(0,1,0),
e escolhemos o vetor que liga A a M: \displaystyle \overrightarrow{w}=M-A=\bigl(1,0,\tfrac12\bigr).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v} =(1,1,1)\times(0,1,0) =(-1,0,1),
cuja magnitude é
\bigl\|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\bigr\| =\sqrt{(-1)^2+0^2+1^2} =\sqrt{2}.

Passo 5

Calculamos o produto escalar triplo no numerador da fórmula:
\overrightarrow{w}\cdot\bigl(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\bigr) =\bigl(1,0,\tfrac12\bigr)\cdot(-1,0,1) =-1+\tfrac12 =-\tfrac12.
O valor absoluto é \tfrac12.

Passo 6

A fórmula da distância entre retas reversas é
d=\frac{\bigl|\overrightarrow{w}\cdot(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\bigr|} {\bigl\|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\bigr\|} =\frac{\tfrac12}{\sqrt{2}} =\frac{1}{2\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}

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