Seja VABC um tetraedro regular com arestas 10 e \\\mathrm{X}, \\\mathrm{Y}\\ e Z pontos em VA, VB e VC, respectivamente, tais que \\\mathrm{VX}=1, \\\mathrm{VY}=3\\ e \\\mathrm{VZ}=6\\. Calcule o ângulo entre os planos XYZ e ABC .

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre o plano ABC e o plano XYZ. Em geometria espacial, esse ângulo é igual ao ângulo entre os vetores normais a esses planos. Para encontrar os vetores normais, vamos colocar o tetraedro regular VABC de arestas 10 num sistema de coordenadas, determinar as coordenadas de X,Y,Z e depois calcular os vetores normais por produto vetorial.

Passo 2

Escolhemos
A=(0,0,0),\quad B=(10,0,0),\quad C=\bigl(5,5\sqrt3,0\bigr)
no plano z=0. O vértice V fica acima do centróide de ABC, que é
G=\Bigl(5,\tfrac{5\sqrt3}{3},0\Bigr),
a uma altura h tal que \lvert VA\rvert=10. Da equação
(5)^2+\Bigl(\tfrac{5\sqrt3}{3}\Bigr)^2+h^2=10^2
vem h^2=\tfrac{200}{3}, ou seja
V=\Bigl(5,\tfrac{5\sqrt3}{3},\tfrac{10\sqrt6}{3}\Bigr).

Passo 3

Os pontos X,Y,Z estão em VA,VB,VC com \,VX=1,\,VY=3,\,VZ=6. Usamos a razão de divisão de segmento:
X=\frac{9\,V+1\,A}{10},\quad Y=\frac{7\,V+3\,B}{10},\quad Z=\frac{4\,V+6\,C}{10}.
Substituindo as coordenadas de A,B,C,V, obtemos
X=\Bigl(4{,}5,\tfrac{3\sqrt3}{2},3\sqrt6\Bigr),\quad Y=\Bigl(6{,}5,\tfrac{7\sqrt3}{6},\tfrac{7\sqrt6}{3}\Bigr),\quad Z=\Bigl(5,\tfrac{11\sqrt3}{3},\tfrac{4\sqrt6}{3}\Bigr).

Passo 4

O vetor normal ao plano ABC pode ser tomado como
\mathbf{n}_{ABC}=(B-A)\times(C-A) =(10,0,0)\times(5,5\sqrt3,0)=(0,0,50\sqrt3)\propto(0,0,1).
Para o plano XYZ, calculamos
\mathbf{XY}=Y-X=(2,\,-\tfrac{\sqrt3}{3},\,-\tfrac{2\sqrt6}{3}),\quad \mathbf{XZ}=Z-X=\bigl(\tfrac12,\tfrac{13\sqrt3}{6},-\tfrac{5\sqrt6}{3}\bigr),
e o normal
\mathbf{n}_{XYZ}=\mathbf{XY}\times\mathbf{XZ} =(12\sqrt2,\;6\sqrt6,\;9\sqrt3).

Passo 5

O ângulo \theta entre os planos satisfaz
\cos\theta =\frac{\bigl|\mathbf{n}_{ABC}\cdot\mathbf{n}_{XYZ}\bigr|} {\|\mathbf{n}_{ABC}\|\;\|\mathbf{n}_{XYZ}\|} =\frac{9\sqrt3}{1\cdot\sqrt{(12\sqrt2)^2+(6\sqrt6)^2+(9\sqrt3)^2}} =\frac{9\sqrt3}{3\sqrt{83}} =\frac{3\sqrt3}{\sqrt{83}} =\sqrt{\frac{27}{83}}.

Resposta

\theta =\operatorname{arccos}\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{27}{83}}\Bigr)

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