Seja VABC um tetraedro regular com arestas 10 e
e Z pontos em VA, VB e VC, respectivamente, tais que
e
. Calcule o ângulo entre os planos XYZ e ABC .
Passo 1
O enunciado pede o ângulo entre o plano
e o plano
. Em geometria espacial, esse ângulo é igual ao ângulo entre os vetores normais a esses planos. Para encontrar os vetores normais, vamos colocar o tetraedro regular
de arestas
num sistema de coordenadas, determinar as coordenadas de
e depois calcular os vetores normais por produto vetorial.
Passo 2
Escolhemos
no plano
. O vértice
fica acima do centróide de
, que é
a uma altura
tal que
. Da equação
vem
, ou seja
Passo 3
Os pontos
estão em
com
. Usamos a razão de divisão de segmento:
Substituindo as coordenadas de
, obtemos
Passo 4
O vetor normal ao plano
pode ser tomado como
Para o plano
, calculamos
e o normal
Passo 5
O ângulo
entre os planos satisfaz