Seja A\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]=10. Calcule, usando as propriedades dos determinantes:
\left|\begin{array}{lll}a & d & g \\b & e & h \\c & f & i\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
A\!\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]=10.
Vou interpretar isso como sendo o determinante da matriz
M=\begin{pmatrix}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{pmatrix}
igual a 10. Ou seja, temos a informação
\det(M)=10.
A pergunta pede o valor do determinante
\left|\begin{array}{ccc}a & d & g \\\ b & e & h \\\ c & f & i\end{array}\right|.
Note que a matriz pedida é exatamente a transposta de M. Vou chamar essa matriz de
M^{T}=\begin{pmatrix}a & d & g \\\ b & e & h \\\ c & f & i\end{pmatrix}.
Passo 2
Lembrar a propriedade que vamos usar: para qualquer matriz quadrada M vale
\det(M^{T})=\det(M).
Vou explicar por que isso é verdade de forma direta e elementar. Usando a definição de determinante por somatório sobre permutações (para 3\times3 o raciocínio é análogo aos n\times n) temos
onde S_{3} é o conjunto das permutações de \{1,2,3\} e \operatorname{sgn}(\sigma) é o sinal da permutação \sigma. Para a transposta M^{T} as entradas são (M^{T})_{i,j}=m_{j,i}, então
Agora faça a mudança de variável \tau=\sigma^{-1}. Quando \sigma percorre S_{3}, \tau também percorre S_{3}; além disso \operatorname{sgn}(\sigma)=\operatorname{sgn}(\tau) porque o sinal da inversa é igual ao sinal original. Substituindo obtemos