Seja A\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]=10. Calcule, usando as propriedades dos determinantes:
\left| \begin{array}{lll}a & d & g \\b & e & h \\c & f & i\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
A\!\left[\begin{array}{ccc}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]=10.
Vou interpretar isso como sendo o determinante da matriz
M=\begin{pmatrix}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{pmatrix}
igual a 10. Ou seja, temos a informação
\det(M)=10.
A pergunta pede o valor do determinante
\left|\begin{array}{ccc}a & d & g \\\ b & e & h \\\ c & f & i\end{array}\right|.
Note que a matriz pedida é exatamente a transposta de M. Vou chamar essa matriz de
M^{T}=\begin{pmatrix}a & d & g \\\ b & e & h \\\ c & f & i\end{pmatrix}.

Passo 2

Lembrar a propriedade que vamos usar: para qualquer matriz quadrada M vale
\det(M^{T})=\det(M).
Vou explicar por que isso é verdade de forma direta e elementar. Usando a definição de determinante por somatório sobre permutações (para 3\times3 o raciocínio é análogo aos n\times n) temos
\det(M)=\sum_{\sigma\in S_{3}}\operatorname{sgn}(\sigma)\,m_{1,\sigma(1)}\,m_{2,\sigma(2)}\,m_{3,\sigma(3)},
onde S_{3} é o conjunto das permutações de \{1,2,3\} e \operatorname{sgn}(\sigma) é o sinal da permutação \sigma. Para a transposta M^{T} as entradas são (M^{T})_{i,j}=m_{j,i}, então
\det(M^{T})=\sum_{\sigma\in S_{3}}\operatorname{sgn}(\sigma)\,m_{\sigma(1),1}\,m_{\sigma(2),2}\,m_{\sigma(3),3}.
Agora faça a mudança de variável \tau=\sigma^{-1}. Quando \sigma percorre S_{3}, \tau também percorre S_{3}; além disso \operatorname{sgn}(\sigma)=\operatorname{sgn}(\tau) porque o sinal da inversa é igual ao sinal original. Substituindo obtemos
\det(M^{T})=\sum_{\tau\in S_{3}}\operatorname{sgn}(\tau)\,m_{1,\tau(1)}\,m_{2,\tau(2)}\,m_{3,\tau(3)}=\det(M).
Portanto a propriedade está demonstrada: transpor a matriz não altera o determinante.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao caso dado: como a matriz pedida é M^{T} e foi dado que \det(M)=10, segue imediatamente que
\det(M^{T})=\det(M)=10.

Resposta

10

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