Seja A\left[\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right]=10. Calcule, usando as propriedades dos determinantes:
\left|\begin{array}{rrr}a & b & c \\d / 2 & e / 2 & f / 2 \\g & h & i\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{pmatrix}
e informa o valor do determinante dessa matriz:
\det(A)=10.
Pede-se para calcular o determinante da matriz obtida ao dividir a segunda linha por 2, isto é:
\begin{vmatrix} a & b & c \\\ d/2 & e/2 & f/2 \\\ g & h & i \end{vmatrix}.
Resumo do que foi pedido:
Calcular a quantidade acima usando apenas as propriedades dos determinantes e a informação \det(A)=10.
Passo 2
Propriedade fundamental que vamos usar (explique comigo devagar): se uma linha (ou coluna) de uma matriz é multiplicada por um escalar k, então o determinante da matriz é multiplicado por k. Em notação:
\text{Se }B\text{ é igual a }A\text{ com a }r\text{-ésima linha multiplicada por }k,\text{ então }\det(B)=k\det(A).ééã
Intuição simples: o determinante é multilinear nas linhas — isso significa que, mantendo as outras linhas fixas, o determinante depende linearmente de cada linha. Multiplicar toda uma linha por k é o mesmo que “fatorar” k para fora do determinante.
Passo 3
Para fixar a ideia com um exemplo pequeno (bem direto): para uma matriz 2\times2,
\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Se multiplicarmos a segunda linha por k, a nova matriz é \begin{pmatrix}a & b \\\ kc & kd\end{pmatrix} e seu determinante é
\det\begin{pmatrix}a & b \\\ kc & kd\end{pmatrix}=a(kd)-b(kc)=k(ad-bc)=k\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
o que confirma a propriedade no caso 2\times2. A ideia é a mesma para 3\times3.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso problema: a segunda linha da matriz foi multiplicada por 1/2. Portanto
\begin{vmatrix} a & b & c \\\ d/2 & e/2 & f/2 \\\ g & h & i \end{vmatrix} =\tfrac{1}{2}\, \begin{vmatrix} a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i \end{vmatrix}.
Passo 5
Usando a informação dada \det(A)=10, substituímos na expressão do passo anterior:
\begin{vmatrix} a & b & c \\\ d/2 & e/2 & f/2 \\\ g & h & i \end{vmatrix} =\tfrac{1}{2}\cdot 10.
Passo 6
Comentário final rápido e motivador: então só foi preciso reconhecer que uma linha foi escalada e usar a propriedade de linearidade do determinante — bem prático na prova. Se multiplicasse duas linhas por fatores diferentes, o determinante seria multiplicado pelo produto desses fatores.