Seja alpha:[a, b] R^3 uma função vetorial de classe C^3, sejam T, N e B os vetores do triedro de Frenet de alpha e sejam k e tau a curvatura e a torção de alpha, respectivamente.
Conclua que tau=(alpha^prime times alpha^prime prime) cdot alpha^prime prime prime|alpha^prime times alpha^prime prime|^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma curva regular de classe C^3 com triedro de Frenet (T,N,B), a torção τ pode ser expressa em termos das derivadas de α como
τ=(α'times α'')cdot α'''|α'times α''|^2
O conteúdo envolve definições do triedro de Frenet, produto vetorial e escalar, regra do quociente na derivação e produto misto.

Passo 2

Começamos lembrando que o vetor binormal B é dado por
B=α'times α''|α'times α''|,
já que B= T\times N e T=α’/|α’|, N=T’/|T’|, mas vale a forma direta acima em termos de α.

Passo 3

Para derivar B, aplicamos a regra do quociente e a do produto vetorial: se u=α’\times α’’, então
u'=α'times α''' + α''times α''=α'times α''',
pois α’’\times α’’=0.
Logo
B'=u'|u|-u,(ucdot u')|u|^3 =α'times α'''|α'times α''|-(α'times α'')(,(α'times α'')cdot(α'times α'''))|α'times α''|^3

Passo 4

Pelas fórmulas de Frenet (em parâmetro qualquer) temos
B'=-|α'|,τ,N
e, em particular,
B'cdot N=-|α'|,τ

Passo 5

Para calcular B’\cdot N, usamos que
N=Btimes T=(α'times α'')|α'times α''|timesα'|α'| =(α'times α'')times α'|α'times α''|,|α'|
Como o segundo termo de B’ é paralelo a (α’\times α’’), ele é ortogonal a N, então só o primeiro contribui. Fazendo o produto misto e usando identidade
(α'times α''')cdotl((α'times α'')times α'r) = -|α'|^2,(α'''cdot(α'times α'')),
vem
B'cdot N=-|α'|,( (α'times α'')cdot α''')|α'times α''|^2

Passo 6

Igualando às fórmulas de Frenet, ou seja,
-|α'|,τ=B'cdot N=-|α'|,((α'times α'')cdot α''')|α'times α''|^2,
e simplificando ÷(−|α’|), concluímos
τ=(α'times α'')cdot α'''|α'times α''|^2

Resposta

τ=(α'times α'')cdot α'''|α'times α''|^2

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