Seja
uma função vetorial de classe
, sejam
e
os vetores do triedro de Frenet de
e sejam
e
a curvatura e a torção de alpha, respectivamente.
Conclua que
.
Conclua que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma curva regular de classe C^3 com triedro de Frenet (T,N,B), a torção τ pode ser expressa em termos das derivadas de α como
O conteúdo envolve definições do triedro de Frenet, produto vetorial e escalar, regra do quociente na derivação e produto misto.
Passo 2
Começamos lembrando que o vetor binormal B é dado por
já que B= T\times N e T=α’/|α’|, N=T’/|T’|, mas vale a forma direta acima em termos de α.
Passo 3
Para derivar B, aplicamos a regra do quociente e a do produto vetorial: se u=α’\times α’’, então
pois α’’\times α’’=0.
Logo
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Passo 4
Pelas fórmulas de Frenet (em parâmetro qualquer) temos
e, em particular,
Passo 5
Para calcular B’\cdot N, usamos que
Como o segundo termo de B’ é paralelo a (α’\times α’’), ele é ortogonal a N, então só o primeiro contribui. Fazendo o produto misto e usando identidade
vem
Passo 6
Igualando às fórmulas de Frenet, ou seja,
e simplificando ÷(−|α’|), concluímos