Seja \alpha um ângulo qualquer. Então, é falso afirmar que:
Escolha uma opção
\bigcirc a. \cos (\alpha)=\cos (-\alpha)
\bigcirc b. \operatorname{cotg}(\alpha)=-\operatorname{cotg}(-\alpha)
\bigcirc C. -\operatorname{sen}(\alpha)=\operatorname{sen}(-\alpha)
\bigcirc d. -\operatorname{tg}(\alpha)=\operatorname{tg}(-\alpha)
\bigcirc e. \operatorname{sec} (\alpha)=-\operatorname{sec} (-\alpha)

Passo 1

O enunciado diz: seja \alpha um ângulo qualquer. Pergunta-se qual das afirmações abaixo é falsa:
a. \cos(\alpha)=\cos(-\alpha)
b. \operatorname{cotg}(\alpha)=-\operatorname{cotg}(-\alpha)
c. -\operatorname{sen}(\alpha)=\operatorname{sen}(-\alpha)
d. -\operatorname{tg}(\alpha)=\operatorname{tg}(-\alpha)
e. \operatorname{sec}(\alpha)=-\operatorname{sec}(-\alpha)
Informações úteis que o enunciado fornece (implícitas): cada identidade envolve funções trigonométricas avaliadas em \alpha e em -\alpha. Temos que verificar a veracidade de cada igualdade para um ângulo arbitrário \alpha.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar um conceito-chave — paridade de funções trigonométricas — de forma bem direta e visual (imagina o círculo trigonométrico):
  • Uma função f é par se f(-x)=f(x).
  • Uma função f é ímpar se f(-x)=-f(x).
Aplicando isso às funções trigonométricas mais básicas, usando a simetria no círculo trigonométrico:
  • \cos(-\alpha)=\cos(\alpha) (o cosseno é par — coordenada x espelha-se sem mudar).
  • \sin(-\alpha)=-\sin(\alpha) (o seno é ímpar — coordenada y muda de sinal).
A partir dessas duas propriedades simples conseguimos deduzir as paridades das funções derivadas: \tan, \cot, \operatorname{sec}, \csc. Para lembrar as definições:
  • \tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}.
  • \cot(\alpha)=\dfrac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}.
  • \operatorname{sec}(\alpha)=\dfrac{1}{\cos(\alpha)}.
  • \csc(\alpha)=\dfrac{1}{\sin(\alpha)}.
Agora vamos testar cada alternativa usando essas propriedades, passo a passo.

Passo 3

Verificando a alternativa a: \cos(\alpha)=\cos(-\alpha).
Usando a propriedade de paridade do cosseno temos diretamente \cos(-\alpha)=\cos(\alpha). Portanto a alternativa a é verdadeira.

Passo 4

Verificando a alternativa b: \operatorname{cotg}(\alpha)=-\operatorname{cotg}(-\alpha).
Começo calculando \operatorname{cotg}(-\alpha) pela definição:
\operatorname{cotg}(-\alpha)=\frac{\cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)}.
Usando \cos(-\alpha)=\cos(\alpha) e \sin(-\alpha)=-\sin(\alpha) obtemos
\operatorname{cotg}(-\alpha)=\frac{\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)}=-\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}=-\operatorname{cotg}(\alpha).
Multiplicando por -1 ambos os lados:
-\operatorname{cotg}(-\alpha)=\operatorname{cotg}(\alpha).
Isso é exatamente a igualdade proposta em b, então b é verdadeira.

Passo 5

Verificando a alternativa c: -\operatorname{sen}(\alpha)=\operatorname{sen}(-\alpha).
Usando a paridade do seno: \operatorname{sen}(-\alpha)=-\operatorname{sen}(\alpha). Isso coincide com a igualdade da alternativa c. Logo c é verdadeira.

Passo 6

Verificando a alternativa d: -\operatorname{tg}(\alpha)=\operatorname{tg}(-\alpha).
Calculo \operatorname{tg}(-\alpha) pela definição:
\operatorname{tg}(-\alpha)=\frac{\operatorname{sen}(-\alpha)}{\cos(-\alpha)}.
Substituindo \operatorname{sen}(-\alpha)=-\operatorname{sen}(\alpha) e \cos(-\alpha)=\cos(\alpha) temos
\operatorname{tg}(-\alpha)=\frac{-\operatorname{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)}=-\frac{\operatorname{sen}(\alpha)}{\cos(\alpha)}=-\operatorname{tg}(\alpha).
Então a igualdade dada em d é verdadeira.

Passo 7

Verificando a alternativa e: \operatorname{sec}(\alpha)=-\operatorname{sec}(-\alpha).
Vamos escrever \operatorname{sec}(-\alpha) pela definição \operatorname{sec}(x)=\dfrac{1}{\cos(x)}:
\operatorname{sec}(-\alpha)=\frac{1}{\cos(-\alpha)}.
Mas \cos(-\alpha)=\cos(\alpha), então
\operatorname{sec}(-\alpha)=\frac{1}{\cos(\alpha)}=\operatorname{sec}(\alpha).
Portanto \operatorname{sec}(-\alpha)=\operatorname{sec}(\alpha). A igualdade proposta em e diz \operatorname{sec}(\alpha)=-\operatorname{sec}(-\alpha). Substituindo o que achamos:
\operatorname{sec}(\alpha)=-\operatorname{sec}(-\alpha)= -\operatorname{sec}(\alpha).
Isso implicaria \operatorname{sec}(\alpha) = -\operatorname{sec}(\alpha), ou 2\operatorname{sec}(\alpha)=0, o que forçaria \operatorname{sec}(\alpha)=0. Mas \operatorname{sec}(\alpha)=\dfrac{1}{\cos(\alpha)} nunca é zero (a recíproca de \cos(\alpha) não pode ser zero), então a igualdade não é verdadeira para um \alpha genérico. Exemplo concreto rápido: tome \alpha=0. Então \operatorname{sec}(0)=1 e \operatorname{sec}(-0)=1; a afirmação \operatorname{sec}(0)=-\operatorname{sec}(-0) seria 1=-1, obviamente falsa. Logo e é falsa.

Passo 8

Conclusão: as alternativas a, b, c e d são verdadeiras; a alternativa e é falsa. Força! Você já consegue fazer esse tipo de verificação rapidinho agora que decoramos as paridades e as definições.

Resposta

(e)

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