Seja
um ângulo qualquer. Então, é falso afirmar que:
Escolha uma opção
a.
b.
C.
d.
e.
Passo 1
O enunciado diz: seja
um ângulo qualquer. Pergunta-se qual das afirmações abaixo é falsa:
a.
b.
c.
d.
e.
b.
c.
d.
e.
Informações úteis que o enunciado fornece (implícitas): cada identidade envolve funções trigonométricas avaliadas em
e em
. Temos que verificar a veracidade de cada igualdade para um ângulo arbitrário
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar um conceito-chave — paridade de funções trigonométricas — de forma bem direta e visual (imagina o círculo trigonométrico):
- Uma função
é par se . - Uma função
é ímpar se .
Aplicando isso às funções trigonométricas mais básicas, usando a simetria no círculo trigonométrico:
-
(o cosseno é par — coordenada espelha-se sem mudar). -
(o seno é ímpar — coordenada muda de sinal).
A partir dessas duas propriedades simples conseguimos deduzir as paridades das funções derivadas:
,
,
,
. Para lembrar as definições:
-
. -
. -
. -
.
Agora vamos testar cada alternativa usando essas propriedades, passo a passo.
Passo 3
Verificando a alternativa a:
.
Usando a propriedade de paridade do cosseno temos diretamente . Portanto a alternativa a é verdadeira.
Usando a propriedade de paridade do cosseno temos diretamente
Passo 4
Verificando a alternativa b:
.
Começo calculando pela definição:
Começo calculando
Usando
e
obtemos
Multiplicando por
ambos os lados:
Isso é exatamente a igualdade proposta em b, então b é verdadeira.
Passo 5
Verificando a alternativa c:
.
Usando a paridade do seno: . Isso coincide com a igualdade da alternativa c. Logo c é verdadeira.
Usando a paridade do seno:
Passo 6
Verificando a alternativa d:
.
Calculo pela definição:
Calculo
Substituindo
e
temos
Então a igualdade dada em d é verdadeira.
Passo 7
Verificando a alternativa e:
.
Vamos escrever pela definição
:
Vamos escrever
Mas
, então
Portanto
. A igualdade proposta em e diz
. Substituindo o que achamos:
Isso implicaria
, ou
, o que forçaria
. Mas
nunca é zero (a recíproca de
não pode ser zero), então a igualdade não é verdadeira para um
genérico. Exemplo concreto rápido: tome
. Então
e
; a afirmação
seria
, obviamente falsa. Logo e é falsa.
Passo 8
Conclusão: as alternativas a, b, c e d são verdadeiras; a alternativa e é falsa. Força! Você já consegue fazer esse tipo de verificação rapidinho agora que decoramos as paridades e as definições.
Resposta
(e)