Determine qual dos ângulos a seguir não está no 3^{\circ} quadrante.
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 19 \pi / 6
\bigcirc b. 5 \pi / 6
\bigcirc C. 4 \pi / 3
\bigcirc d. 7 \pi / 6
\bigcirc e. 5 \pi / 4

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual dos ângulos listados NÃO está no 3 ^\circ quadrante. As opções fornecidas são:
a. 19\pi/6
b. 5\pi/6
c. 4\pi/3
d. 7\pi/6
e. 5\pi/4

Passo 2

Primeiro, vamos deixar claro o que significa um ângulo estar no 3 ^\circ quadrante. Um ângulo \theta está no 3 ^\circ quadrante quando o seu argumento (medido a partir do eixo positivo) satisfaz
\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}.
Isto é, maior que \pi (180°) e menor que \tfrac{3\pi}{2} (270°).

Passo 3

Alguns ângulos podem exceder 2\pi. Para comparar com o intervalo do 3 ^\circ quadrante, usamos ângulos coterminais: dois ângulos são coterminais se diferem por um múltiplo inteiro de 2\pi. Ou seja, podemos reduzir qualquer \theta à forma
\theta'=\theta-2k\pi,
com k\in\mathbb{Z}, de modo que 0\le \theta'<2\pi. Depois verificamos se \pi<\theta'<\tfrac{3\pi}{2}.

Passo 4

Analisando a opção a: \;19\pi/6.
Subtraindo 2\pi = 12\pi/6, obtemos
19\pi/6 - 12\pi/6 = 7\pi/6.
Agora verificamos o intervalo: \pi = 6\pi/6 e \tfrac{3\pi}{2}=9\pi/6. Como
6\pi/6 < 7\pi/6 < 9\pi/6,
temos \pi < 7\pi/6 < \tfrac{3\pi}{2}. Logo a opção a ( 19\pi/6) está no 3 ^\circ quadrante.

Passo 5

Analisando a opção b: \;5\pi/6.
Esse ângulo já está entre 0 e 2\pi. Compare com \pi: \pi = 6\pi/6, e 5\pi/6 < 6\pi/6. Portanto
5\pi/6 < \pi,
ou seja, 5\pi/6 NÃO pertence ao intervalo \pi<\theta<\tfrac{3\pi}{2}. Conclusão: 5\pi/6 está no 2 ^\circ quadrante (não no 3 ^\circ).

Passo 6

Analisando a opção c: \;4\pi/3.
Podemos comparar diretamente: \pi = 3\pi/3 e \tfrac{3\pi}{2}= \tfrac{9\pi}{6} = \tfrac{3\pi}{2}. Escrevendo 4\pi/3 como fração comparável, temos 4\pi/3 = \tfrac{8\pi}{6}. Como
6\pi/6 < 8\pi/6 < 9\pi/6,
segue que \pi < 4\pi/3 < \tfrac{3\pi}{2}. Logo c está no 3 ^\circ quadrante.

Passo 7

Analisando a opção d: \;7\pi/6.
Comparando com \pi = 6\pi/6 e \tfrac{3\pi}{2}=9\pi/6, temos
6\pi/6 < 7\pi/6 < 9\pi/6,
portanto \pi < 7\pi/6 < \tfrac{3\pi}{2}. Assim d está no 3 ^\circ quadrante.

Passo 8

Analisando a opção e: \;5\pi/4.
Escrevendo como fração sobre 4: \pi = 4\pi/4 e \tfrac{3\pi}{2} = 6\pi/4. Como
4\pi/4 < 5\pi/4 < 6\pi/4,
temos \pi < 5\pi/4 < \tfrac{3\pi}{2}. Logo e está no 3 ^\circ quadrante.

Passo 9

Resumo dos resultados:
a. 19\pi/6 → coterminal com 7\pi/6 → 3 ^\circ quadrante
b. 5\pi/6 → menor que \pi → 2 ^\circ quadrante (não 3 ^\circ)
c. 4\pi/3 → entre \pi e \tfrac{3\pi}{2} → 3 ^\circ quadrante
d. 7\pi/6 → entre \pi e \tfrac{3\pi}{2} → 3 ^\circ quadrante
e. 5\pi/4 → entre \pi e \tfrac{3\pi}{2} → 3 ^\circ quadrante
Portanto, a única opção que NÃO está no 3 ^\circ quadrante é a opção b.

Resposta

b. 5\pi/6

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