O seno e cosseno do ângulo de medida 465^{\circ} são, respectivamente
Escolha uma opção:
\bigcirc a. -\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1) e \frac{\sqrt{2}}{4}(1+\sqrt{3})
\bigcirc b. nenhuma das demais.
\bigcirc C. \frac{\sqrt{2}}{4}(-1+\sqrt{3}) e \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1)
\bigcirc \frac{\sqrt{2}}{4}(1+\sqrt{3}) \mathrm{e}-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)
\bigcirc \frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1) e \frac{\sqrt{2}}{4}(-1+\sqrt{3})

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o seno e o cosseno do ângulo \;465^\circ\;. Informações relevantes dadas: o ângulo é \;465^\circ\; e queremos os valores exatos de \sin 465^\circ e \cos 465^\circ. Não há figura nem outra informação adicional.

Passo 2

Primeira ideia prática: reduzir o ângulo a um ângulo mais simples usando a periodicidade das funções trigonométricas. A propriedade que vamos usar é:
\sin(\theta+360^\circ)=\sin\theta,\qquad \cos(\theta+360^\circ)=\cos\theta.
Aplicando isso a \;465^\circ\;:
465^\circ-360^\circ=105^\circ,
portanto
\sin 465^\circ=\sin 105^\circ,\qquad \cos 465^\circ=\cos 105^\circ.

Passo 3

Agora escolhemos escrever 105^\circ como soma de ângulos cujos senos e cossenos conhecemos exatamente. Uma boa escolha é
105^\circ = 60^\circ + 45^\circ,
porque \;60^\circ e \;45^\circ têm valores trigonométricos exatos simples.

Passo 4

Vou lembrar os valores exatos que vamos usar (todos em formas racionais com raízes):
\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos 60^\circ=\frac{1}{2},
\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Explico rapidinho: \;45^\circ vem de um triângulo isósceles direito; \;60^\circ de um triângulo equilátero cortado ao meio.

Passo 5

Usamos a fórmula da soma de ângulos para o seno:
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.
Com a=60^\circ e b=45^\circ:
\sin 105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)=\sin60^\circ\cos45^\circ+\cos60^\circ\sin45^\circ.
Substituindo os valores:
\sin 105^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 6

Agora calculamos e simplificamos passo a passo:
\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4},\qquad \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Somando:
\sin 105^\circ=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}.
Fatorando \sqrt{2}:
\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1).
Portanto
\sin 465^\circ=\sin 105^\circ=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}+1).

Passo 7

Agora o cosseno: usamos a fórmula da soma de ângulos para o cosseno:
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.
Com a=60^\circ e b=45^\circ:
\cos 105^\circ=\cos60^\circ\cos45^\circ-\sin60^\circ\sin45^\circ.
Substituindo:
\cos 105^\circ=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 8

Calculemos cada termo:
\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4},\qquad \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}.
Subtraindo:
\cos 105^\circ=\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}.
Fatorando \sqrt{2}:
\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}=\frac{\sqrt{2}(1-\sqrt{3})}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1).
Portanto
\cos 465^\circ=\cos 105^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1).

Passo 9

Resumo rápido: encontramos os dois valores exatos e conferimos sinais (seno positivo, cosseno negativo em 105^\circ, consistente com o fato de 105^\circ estar no segundo quadrante onde seno > 0 e cosseno < 0). Esses resultados correspondem à opção que apresenta
\sin 465^\circ=\frac{\sqrt{2}}{4}(1+\sqrt{3}) e \cos 465^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1).

Resposta

\sin 465^\circ=\frac{\sqrt{2}}{4}(1+\sqrt{3})\n \cos 465^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)

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