Seja alpha o arco do círculo |z|=2 de z=2 à z=2 j que está no primeiro quadrante. Sem calcular a integral, mostre que
|integralalpha d zz^2+1| <= pi / 3

Passo 1

Resumo do enunciado e matéria: precisamos estimar sem calcular a integral integralalpha dzz^2+1 onde alpha é o arco do círculo |z|=2 indo de 2 a 2j no primeiro quadrante. O método envolve o Lema ML de integrais complexas.

Passo 2

Para usar o Lema ML precisamos de dois dados: o comprimento L do arco alpha e um majorante M tal que l|tfrac1z^2+1r|<= M em todo alpha.

Passo 3

Cálculo do comprimento do arco: como alpha é um setor circular de raio 2 e ângulo pi/2, temos
L = 2cdot pi2 = pi

Passo 4

Estimativa de l|tfrac1z^2+1r| em |z|=2: usamos a desigualdade triangular inversa:
l|z^2+1r|>= |z|^2 - 1 = 4 - 1 = 3
Logo em alpha vale
l|1z^2+1r|<= 13,
isto é, podemos tomar M = 1/3.

Passo 5

Aplicação do Lema ML:
l|integralalpha dzz^2+1r|<= M,L = 13cdotpi = pi3
Dessa forma mostramos a desigualdade requerida.

Resposta

pi/3

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