Nos itens a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e encontre sua área por meio de uma integral dupla.
Passo 1
A gente tem a missão de esboçar a região do plano limitada pelas retas
,
e
e calcular a área dela usando uma integral dupla. Isso cai na parte de integrais duplas para área de regiões planas, então vamos precisar encontrar os vértices, traçar o triângulo e montar a integral.
Passo 2
Para achar os vértices do triângulo, resolvemos cada par de retas:
Somando as duas, temos
Igualando
Somando
Passo 3
Desenhando as três retas rapidamente (ou no papel), a região limitada é um triângulo de vértices A
, B
e C
. As arestas A–B, B–C e C–A pertencem, respectivamente, às retas
,
e
.
Passo 4
Para montar a integral dupla, escolhemos variar
de
a
e, para cada
,
vai de uma reta inferior até a reta superior. Como a reta inferior muda em
, dividimos em dois pedaços:
Passo 5
Agora é só calcular cada integral:
-
-
Somando as duas partes vem.