Nos itens a seguir, esboce a região limitada pelas curvas dadas e encontre sua área por meio de uma integral dupla.
x-y+1=0 ; 7 x-y-17=0 ; 2 x+y+2=0

Passo 1

A gente tem a missão de esboçar a região do plano limitada pelas retas x - y + 1 = 0, 7x - y - 17 = 0 e 2x + y + 2 = 0 e calcular a área dela usando uma integral dupla. Isso cai na parte de integrais duplas para área de regiões planas, então vamos precisar encontrar os vértices, traçar o triângulo e montar a integral.

Passo 2

Para achar os vértices do triângulo, resolvemos cada par de retas:
(i) x - y + 1 = 0, ;2x + y + 2 = 0
Somando as duas, temos 3x + 1 = 0, logo x = -1. Substituindo em y = x + 1 y = 0. Então um vértice é (-1,0).
(ii) x - y + 1 = 0, ;7x - y - 17 = 0
Igualando y = x + 1 e y = 7x - 17 vem x + 1 = 7x - 17, logo x = 3 e y = 4.
(iii) 7x - y - 17 = 0, ;2x + y + 2 = 0
Somando y = 7x - 17 e y = -2x - 2 9x - 15 = 0, x = 5/3 e y = -2(5/3) - 2 = -16/3.

Passo 3

Desenhando as três retas rapidamente (ou no papel), a região limitada é um triângulo de vértices A (-1,0), B (3,4) e C (5/3,-16/3). As arestas A–B, B–C e C–A pertencem, respectivamente, às retas y = x + 1, y = 7x - 17 e y = -2x - 2.

Passo 4

Para montar a integral dupla, escolhemos variar x de -1 a 3 e, para cada x, y vai de uma reta inferior até a reta superior. Como a reta inferior muda em x = 5/3, dividimos em dois pedaços:
Área = integral duplaR dA = integralx=-1^5/3integraly=-2x-2^y=x+1dy,dx +integralx=5/3^3integraly=7x-17^y=x+1dy,dxÁ

Passo 5

Agora é só calcular cada integral:
  1. tfrac323+tfrac163=16

  2. Somando as duas partes vem .

Resposta

16

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