Seja
uma curva regular cujo traço está contido em uma esfera de raio
. Prove que a curvatura
de
, satisfaz a propriedade
. Quando é que
?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma curva regular
que está completamente contida em uma esfera de raio
. O objetivo é provar que a curvatura
dessa curva sempre é maior ou igual a
. Além disso, queremos saber em que situações a curvatura é exatamente igual a
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de geometria diferencial, especialmente sobre curvas em superfícies e a relação entre curvatura e geometria da esfera.
Passo 2
Vamos começar lembrando que uma curva
está contida em uma esfera de raio
. Isso significa que para todo ponto na curva, a distância até o centro da esfera é constante e igual a
. Matematicamente, isso se expressa como:
onde
é o centro da esfera e
representa a norma euclidiana.
Passo 3
Como a curva está na esfera, o vetor posição
está sempre perpendicular à tangente da curva
. Isso porque a derivada de
em relação a
dá:
ou seja,
Passo 4
Agora, vamos derivar novamente para relacionar com a curvatura. Derivando a equação anterior:
Sabemos que
(porque a curva é regular e parametrizada por arc length), então:
Passo 5
A curvatura
da curva
é dada por:
Queremos relacionar isso com o que encontramos anteriormente. Sabemos que:
Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 6
Agora, vamos determinar quando a igualdade
ocorre. A igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz acontece se e somente se os vetores envolvidos são linearmente dependentes. Ou seja:
Para algum escalar
. Como a curvatura é constante e igual a
, isso implica que a curva é um círculo com raio
, pois a única curva em uma esfera com curvatura constante igual a
é o próprio círculo máximo da esfera.
Resposta
A curvatura
da curva
satisfaz
. A igualdade
ocorre quando a curva
é um círculo de raio
na esfera.