Seja alpha: I R^3 uma curva regular cujo traço está contido em uma esfera de raio a>0. Prove que a curvatura k de alpha, satisfaz a propriedade k >= 1a. Quando é que k equiv 1a ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma curva regular alpha: I R^3 que está completamente contida em uma esfera de raio a. O objetivo é provar que a curvatura k dessa curva sempre é maior ou igual a 1a. Além disso, queremos saber em que situações a curvatura é exatamente igual a 1a. Para resolver isso, vamos precisar conhecer conceitos de geometria diferencial, especialmente sobre curvas em superfícies e a relação entre curvatura e geometria da esfera.

Passo 2

Vamos começar lembrando que uma curva alpha está contida em uma esfera de raio a. Isso significa que para todo ponto na curva, a distância até o centro da esfera é constante e igual a a. Matematicamente, isso se expressa como:
|alpha(t) - c| = a
onde c é o centro da esfera e |cdot| representa a norma euclidiana.

Passo 3

Como a curva está na esfera, o vetor posição alpha(t) - c está sempre perpendicular à tangente da curva alpha'(t). Isso porque a derivada de |alpha(t) - c|^2 = a^2 em relação a t dá:
2(alpha(t) - c) cdot alpha'(t) = 0
ou seja,
(alpha(t) - c) perp alpha'(t)

Passo 4

Agora, vamos derivar novamente para relacionar com a curvatura. Derivando a equação anterior:
ddt [(alpha(t) - c) cdot alpha'(t)] = (alpha'(t)) cdot alpha'(t) + (alpha(t) - c) cdot alpha''(t) = 0
Sabemos que |alpha'(t)| = 1 (porque a curva é regular e parametrizada por arc length), então:
1 + (alpha(t) - c) cdot alpha''(t) = 0 implies (alpha(t) - c) cdot alpha''(t) = -1

Passo 5

A curvatura k da curva alpha é dada por:
k = |alpha''(t)|
Queremos relacionar isso com o que encontramos anteriormente. Sabemos que:
(alpha(t) - c) cdot alpha''(t) = -1
Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos:
|(alpha(t) - c) cdot alpha''(t)| <= |alpha(t) - c| cdot |alpha''(t)|
Substituindo os valores conhecidos:
1 <= a cdot k implies k >= 1a

Passo 6

Agora, vamos determinar quando a igualdade k = 1a ocorre. A igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz acontece se e somente se os vetores envolvidos são linearmente dependentes. Ou seja:
alpha''(t) = lambda (alpha(t) - c)
Para algum escalar lambda. Como a curvatura é constante e igual a 1a, isso implica que a curva é um círculo com raio a, pois a única curva em uma esfera com curvatura constante igual a 1a é o próprio círculo máximo da esfera.

Resposta

A curvatura k da curva alpha satisfaz k >= 1a. A igualdade k = 1a ocorre quando a curva alpha é um círculo de raio a na esfera.

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