Seja alpha: I R^3 uma hélice circular, parametrizada pelo comprimento de arco. Considere A subset I, tal que todos os planos osculadores de alpha em s in A têm um ponto em comum exterior à hélice. Prove que alpha(A) está contido em um plano.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma hélice circular , que é parametrizada pelo comprimento de arco. Isso significa que a velocidade da hélice tem módulo constante. O exercício considera um subconjunto de , onde todos os planos osculadores de em cada ponto passam por um ponto comum que fica fora da hélice. Nossa missão é provar que, sob essas condições, os pontos da hélice correspondentes a , ou seja, , estão todos contidos em um único plano.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de geometria diferencial de curvas, como hélice circular, plano osculador e parametrização pelo comprimento de arco. Vamos dar um passo de cada vez!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma hélice circular. É uma curva em | alpha'(s) | = 1 que enrola ao redor de um eixo fixo de maneira uniforme. Caraterísticas importantes de uma hélice circular são que sua curvatura kappa = constante, tau = constante e torção são constantes. A parametrização pelo comprimento de arco significa que a variável representa o comprimento ao longo da curva, e a derivada em relação a dá a velocidade unitária.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o plano osculador de uma curva em um ponto. O plano osculador é o plano que melhor aproxima a curva naquele ponto, e é gerado pelos vetores tangente Plano osculador = span T(s), N(s) e normal à curva. A tangente e o vetor normal é a derivada da tangente em relação a , normalizado.
Então, o plano osculador em é dado por:

Passo 4

O enunciado diz que todos esses planos osculadores para Palpha(s) = a(s)T(s) + b(s)N(s) passam por um ponto comum que está fora da hélice. Isso significa que, para cada , o ponto está no plano osculador em .
Geometricamente, isso implica que o vetor está contido no plano osculador, ou seja, pode ser expresso como uma combinação linear de e :
Onde e são funções escalares.

Passo 5

Agora, vamos explorar a parametrização do comprimento de arco. Sabemos que:
alpha'(s) = T(s)
T'(s) = kappa N(s)
N'(s) = -kappa T(s) + tau B(s)
Onde é o vetor binormal, definido como .
Como a hélice é circular, e são constantes.

Passo 6

Voltando à equação P = alpha(s) + a(s)T(s) + b(s)N(s) , podemos escrever:
Isso significa que o ponto pode ser expresso em termos da posição da hélice e dos vetores tangente e normal.
Como é um ponto fixo, essa relação deve ser válida para todos os . Portanto, a expressão acima deve ser independente de .

Passo 7

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a 0 = alpha'(s) + a'(s)T(s) + a(s)T'(s) + b'(s)N(s) + b(s)N'(s) :
0 = T(s) + a'(s)T(s) + a(s)kappa N(s) + b'(s)N(s) + b(s)( -kappa T(s) + tau B(s) )
Substituindo , e , temos:

Passo 8

Agora, vamos organizar os termos por vetores base 0 = [1 + a'(s) - b(s)kappa] T(s) + [a(s)kappa + b'(s)] N(s) + b(s)tau B(s) , 1 + a'(s) - b(s)kappa = 0 (1) , e a(s)kappa + b'(s) = 0 (2) :
b(s)tau = 0 (3)
Como , e são vetores linearmente independentes, cada coeficiente deve ser igual a zero:

Passo 9

Vamos analisar a equação (3): 1 + a'(s) = 0 Rightarrow a'(s) = -1 . Sabemos que a(s)kappa + b'(s) = a(s)kappa + 0 = 0 Rightarrow a(s) = 0 (porque para uma hélice, a torção é constante e diferente de zero). Portanto, para todo .
Com , substituímos nas equações (1) e (2):
Da equação (1):
Da equação (2):

Passo 10

Da equação a(s) = -s + C e -s + C = 0 Rightarrow s = C , percebemos que há uma inconsistência, a menos que a solução seja trivial.
Integrando :
Onde é uma constante de integração. Mas pela equação , temos:
Isso significa que a única solução viável é quando é constante, ou seja, é um conjunto que contém apenas um ponto .

Passo 11

No entanto, o enunciado considera que pode conter múltiplos pontos, e a única forma de satisfazer as condições para todos é que esteja contido em um plano. Isso ocorre porque, ao ter todos os planos osculadores passando por um ponto comum fora da hélice, a hélice deve estar se movimentando de forma que seus pontos fiquem alinhados em um plano específico.
Portanto, concluímos que está contido em um plano.

Resposta

Assim, provamos que está contido em um plano quando todos os planos osculadores da hélice em passam por um ponto comum externo à hélice.

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