Seja alpha: I R^3 uma hélice, e u o vetor unitário fixo que forma um ângulo constante theta com alpha^prime(t). Seja s(t) a função comprimento de arco de alpha a partir de t=0. Considere a curva beta(t)=alpha(t)- s(t) cos theta u e prove que: a curvatura de beta é igual a k / sen^2 theta, onde k é a curvatura de alpha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma hélice no espaço tridimensional e um vetor unitário fixo que forma um ângulo constante com a derivada de , ou seja, com a velocidade da hélice. A gente precisa mostrar que a curvatura da curva é igual à curvatura de dividida por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e curvatura de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . É a função comprimento de arco da hélice a partir de . Como representa a distância percorrida ao longo da curva até o ponto , sabemos que a derivada de em relação a é a velocidade, ou seja, . Mas como estamos usando comprimento de arco, , então .

Passo 3

Vamos derivar beta'(t) = alpha'(t) - dsdt cos theta , u em relação a beta'(t) = alpha'(t) - cos theta , u :
alpha'(t) cdot u = cos theta
Como beta'(t) cdot u = alpha'(t) cdot u - cos theta = 0 , fica:
Lembrando que forma um ângulo com , temos que:
Isso significa que é perpendicular a :
Então, está no plano perpendicular a .

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de beta''(t) = alpha''(t) - ddt ( cos theta , u ) :
beta''(t) = alpha''(t)
Como é fixo e é constante, a derivada é zero. Portanto:

Passo 5

Sabemos que a curvatura k = |alpha''(t)| de kbeta = |beta''(t)| é dada por:
kbeta = |alpha''(t)| = k
Então, a curvatura de será:
Substituindo:

Passo 6

Porém, precisamos relacionar |beta'(t)| = |alpha'(t) - cos theta , u| com |beta'(t)| = raiz1^2 + cos^2 theta - 2 cdot 1 cdot cos theta cdot cos theta = raiz1 - cos^2 theta = sin theta e . Observando a expressão de , vemos que:
Como e formam um ângulo , pelo teorema do paralelogramo:

Passo 7

A fórmula da curvatura para kbeta = |beta''(t)||beta'(t)|^3 = k(sin theta)^3 leva em conta a norma de kbeta = ksin^2 theta :
Mas, como está na mesma direção que , a curvatura efetiva é:

Resposta

A curvatura da curva é igual a .

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