Seja
uma hélice, e
o vetor unitário fixo que forma um ângulo constante
com
. Seja
a função comprimento de arco de
a partir de
. Considere a curva
e prove que: a curvatura de
é igual a
, onde
é a curvatura de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma hélice
no espaço tridimensional e um vetor unitário fixo
que forma um ângulo constante
com a derivada de
, ou seja, com a velocidade da hélice. A gente precisa mostrar que a curvatura da curva
é igual à curvatura de
dividida por
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas e curvatura de curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. É a função comprimento de arco da hélice
a partir de
. Como
representa a distância percorrida ao longo da curva até o ponto
, sabemos que a derivada de
em relação a
é a velocidade, ou seja,
. Mas como estamos usando comprimento de arco,
, então
.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
:
Como
, fica:
Lembrando que
forma um ângulo
com
, temos que:
Isso significa que
é perpendicular a
:
Então,
está no plano perpendicular a
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
:
Como
é fixo e
é constante, a derivada é zero. Portanto:
Passo 5
Sabemos que a curvatura
de
é dada por:
Então, a curvatura de
será:
Substituindo:
Passo 6
Porém, precisamos relacionar
com
e
. Observando a expressão de
, vemos que:
Como
e
formam um ângulo
, pelo teorema do paralelogramo:
Passo 7
A fórmula da curvatura para
leva em conta a norma de
:
Mas, como
está na mesma direção que
, a curvatura efetiva é:
Resposta
A curvatura da curva
é igual a
.