Seja alpha: I R^3 uma hélice, e u o vetor unitário fixo que forma um ângulo constante theta com alpha^prime(t). Seja s(t) a função comprimento de arco de alpha a partir de t=0. Considere a curva beta(t)=alpha(t)- s(t) cos theta u e prove que: beta(I) está contida no plano que passa por alpha(0) e é ortogonal a u;

Passo 1

Neste exercício temos uma hélice alpha: I to R^3 cujo vetor tangente faz ângulo constante theta com um vetor fixo unitário u. A curva arco-índice s(t) e a definição de beta(t)=alpha(t)-s(t)costheta,u são dados. Precisamos mostrar que a imagem de beta fica no plano que passa por alpha(0) e é ortogonal a u. Para isso, vamos usar propriedades de comprimento de arco, derivadas e produto interno.

Passo 2

Da definição de comprimento de arco segue que s'(t)=|alpha'(t)|. Derivando beta(t) em relação a t, temos:
beta'(t)=alpha'(t)-s'(t)costheta,u =alpha'(t)-|alpha'(t)|costheta,u

Passo 3

Como alpha é hélice, o ângulo entre alpha'(t) e u é constante theta, logo
ucdotalpha'(t)=|alpha'(t)|costheta
Fazendo o produto interno de beta'(t) com u, obtemos
ucdotbeta'(t)=ucdotalpha'(t)-|alpha'(t)|costheta=0
Isso mostra que ucdotbeta(t) é constante.

Passo 4

A constante é dada avaliando em t=0. Como s(0)=0, temos beta(0)=alpha(0) e então
ucdotbeta(t)=ucdotbeta(0)=ucdotalpha(0)
Assim, para todo t, ucdot(beta(t)-alpha(0))=0, o que implica que beta(t)-alpha(0) é ortogonal a u. Portanto, beta(I) está contida no plano que passa por alpha(0) e é ortogonal a u.

Resposta

beta(I) está contida no plano que passa por alpha(0) e é ortogonal a u.

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