Seja
uma hélice, e
o vetor unitário fixo que forma um ângulo constante
com
. Seja
a função comprimento de arco de
a partir de
. Considere a curva
e prove que:
está contida no plano que passa por
e é ortogonal a
;
Passo 1
Neste exercício temos uma hélice
cujo vetor tangente faz ângulo constante
com um vetor fixo unitário
. A curva arco-índice
e a definição de
são dados. Precisamos mostrar que a imagem de
fica no plano que passa por
e é ortogonal a
. Para isso, vamos usar propriedades de comprimento de arco, derivadas e produto interno.
Passo 2
Da definição de comprimento de arco segue que
. Derivando
em relação a
, temos:
Passo 3
Como
é hélice, o ângulo entre
e
é constante
, logo
Fazendo o produto interno de
com
, obtemos
Isso mostra que
é constante.
Passo 4
A constante é dada avaliando em
. Como
, temos
e então
Assim, para todo
,
, o que implica que
é ortogonal a
. Portanto,
está contida no plano que passa por
e é ortogonal a
.