O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação 2 log 2(1+raiz2 x)-log 2(raiz2 x)=3. Então, log 2(2 a+43) é igual a
a) 14
b) 12
c) 1
d) 32
e) 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação 2log2(1+raiz2x)-log2(raiz2x)=3, identificar o menor valor x (denotado por a) e, em seguida, calcular log2l(2a+43r). Vamos usar propriedades de logaritmos e resolução de equações polinomiais.

Passo 2

Para os logaritmos estarem definidos, precisamos de 1+raiz2x>0 e raiz2x>0. A segunda condição já implica x>0, que garante a primeira, pois então 1+raiz2x>1.

Passo 3

Usamos 2log2A=log2(A^2) e log2A-log2B=log2l(ABr) para reescrever:
log2l((1+raiz2x)^2raiz2xr)=3

Passo 4

Passando para a forma exponencial e simplificando:
(1+raiz2x)^2raiz2x=8
Rightarrow(1+raiz2x)^2=8raiz2x
Rightarrow1+2raiz2x+2x^2=8raiz2x
Rightarrow2x^2-6raiz2x+1=0

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Bhaskara em 2x^2-6raiz2x+1=0. O discriminante é
De
o que dá
x=6raiz2pm84
Logo
x1=3raiz2+42, x2=3raiz2-42

Passo 6

Como x>0, ambas valem, e o menor é a=3raiz2-42. Substituindo em 2a+43, obtemos
2a+43=raiz2

Resposta

12

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