A equação
tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é
a) 0
b)
c)
d) 9
a) 0
b)
c)
d) 9
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
. Nosso objetivo é encontrar o produto das duas raízes reais dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e resolver uma equação exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que mudar a base do logaritmo pode ajudar. A fórmula para mudar a base é:
Então, aplicando isso:
Porque
.
Passo 3
Substituindo isso na equação original, temos:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Vamos chamar
de
para facilitar a resolução. Então a equação fica:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 5
Agora, temos uma equação quadrática:
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então,
Isso dá duas soluções:
Passo 6
Lembrando que
, temos para
:
E para
:
Passo 7
Agora que temos as duas raízes reais,
e
, vamos encontrar o produto delas:
Resposta
O produto das raízes é
. Porém, olhando as opções, a resposta correta mais próxima é a letra c)
. Parece que houve um pequeno erro nos cálculos finais. Reavaliando:
Vamos recalcular o produto:
Parece que o produto é realmente
, mas como essa opção não está disponível, talvez haja uma opção correta mais próxima ou um erro na formulação das opções. De qualquer forma, com base nos cálculos, o produto é 3.