A equação log 3 x=1+12 log x^2 3 tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é
a) 0
b) 13
c) 32
d) 9

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação log3 x = 1 + 12 logx^2 3. Nosso objetivo é encontrar o produto das duas raízes reais dessa equação. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e resolver uma equação exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão logx^2 3. Sabemos que mudar a base do logaritmo pode ajudar. A fórmula para mudar a base é:
loga b = logc blogc a
Então, aplicando isso:
logx^2 3 = log3 3log3 x^2 = 12 log3 x
Porque log3 x^2 = 2 log3 x.

Passo 3

Substituindo isso na equação original, temos:
log3 x = 1 + 12 ( 12 log3 x )
Simplificando o lado direito:
log3 x = 1 + 122 log3 x = 1 + 6log3 x

Passo 4

Vamos chamar log3 x de y para facilitar a resolução. Então a equação fica:
y = 1 + 6y
Multiplicando ambos os lados por y para eliminar a fração:
y^2 = y + 6

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática:
y^2 - y - 6 = 0
Para resolver essa equação, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1, b = -1, e c = -6.
Calculando o discriminante:
De
Então,
y = 1 pm raiz252 = 1 pm 52
Isso dá duas soluções:
y1 = 1 + 52 = 3 y2 = 1 - 52 = -2

Passo 6

Lembrando que y = log3 x, temos para y1:
log3 x = 3 implies x = 3^3 = 27
E para y2:
log3 x = -2 implies x = 3^-2 = 19

Passo 7

Agora que temos as duas raízes reais, x1 = 27 e x2 = 19, vamos encontrar o produto delas:
x1 times x2 = 27 times 19 = 3

Resposta

O produto das raízes é 3. Porém, olhando as opções, a resposta correta mais próxima é a letra c) 32. Parece que houve um pequeno erro nos cálculos finais. Reavaliando:
Vamos recalcular o produto:
27 times 19 = 3
Parece que o produto é realmente 3, mas como essa opção não está disponível, talvez haja uma opção correta mais próxima ou um erro na formulação das opções. De qualquer forma, com base nos cálculos, o produto é 3.

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