Seja
uma curva parametrizada pelo comprimento de arco e seja
. Se existe
tal que
para todo
, mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
-
é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco (isto é, para todo ). -
(o ponto não pertence à imagem da curva). - Existe
tal que para todo . Em outras palavras, é um ponto onde a distância de a atinge um máximo global.
O que se pede: mostrar que
Passo 2
Vamos trabalhar com a função “distância ao quadrado” porque ela é mais simples de derivar. Defina
Comentário didático: usar o quadrado da norma evita a raiz e mantém os mesmos pontos de máximo/minimo (já que
é monotona para
). Supondo
de classe
(hipótese padrão para falar de curvatura), podemos derivar
. Usando a regra da derivada da norma ao quadrado, obtemos
onde
denota o produto escalar em
.
Passo 3
Como
é ponto de máximo de
, vale
. Logo
Explicação: isso significa que o vetor
é ortogonal ao vetor tangente
. Como
é parametrizada por comprimento de arco, podemos chamar
o versor tangente, com
.
Passo 4
Introduzimos a normal e a curvatura (conceitos fundamentais):
- Defina
(vetor tangente unitário). - A derivada segunda satisfaz
, onde é a normal unitária e é a curvatura (escalar, com sinal dependendo da orientação). Esta é a fórmula padrão para curvas parametrizadas por comprimento de arco: a componente de aceleração está na direção normal e tem magnitude igual à curvatura.
Comentário didático:mede o quanto a curva “vira” por unidade de comprimento; aponta para a normal e tem módulo .
Passo 5
Calcule a segunda derivada de
. Derivando
obtemos
Como
, tem-se
, então
No ponto de máximo
temos
. Portanto
Passo 6
Use a ortogonalidade do Passo 3 para escrever
na direção da normal: existe
tal que
Note que
. Substituindo
nessa expressão,
Então a desigualdade do Passo 5 fica
Passo 7
Tome valores absolutos na desigualdade
. Como
, obtemos
Logo
Isto é exatamente a desigualdade pedida. Intuição geométrica rápida: no ponto mais distante de
a curva precisa ter curvatura pelo menos igual ao recíproco da distância, caso contrário a curva poderia se afastar mais de
(contradição com maximalidade).