Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva parametrizada pelo comprimento de arco e seja a \in \mathbb{R}^{2}-\alpha(I). Se existe s_{0} \in I tal que |\alpha(s)-a| \leq\left|\alpha\left(s_{0}\right)-a\right| para todo s \in I, mostre que
\left|\kappa\left(s_{0}\right)\right| \geq \frac{1}{\left|\alpha\left(s_{0}\right)-a\right|}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
  • \alpha: I\to\mathbb{R}^2 é uma curva parametrizada pelo comprimento de arco (isto é, |\alpha'(s)|=1 para todo s\in I).
  • a\in\mathbb{R}^2-\alpha(I) (o ponto a não pertence à imagem da curva).
  • Existe s_0\in I tal que \left|\alpha(s)-a\right|\le\left|\alpha(s_0)-a\right| para todo s\in I. Em outras palavras, s_0 é um ponto onde a distância de \alpha(s) a a atinge um máximo global.
    O que se pede: mostrar que
\left|\kappa\left(s_{0}\right)\right| \geq \frac{1}{\left|\alpha\left(s_{0}\right)-a\right|}.

Passo 2

Vamos trabalhar com a função “distância ao quadrado” porque ela é mais simples de derivar. Defina
\varphi(s)=\left|\alpha(s)-a\right|^{2}.
Comentário didático: usar o quadrado da norma evita a raiz e mantém os mesmos pontos de máximo/minimo (já que x\mapsto x^2 é monotona para x\ge0). Supondo \alpha de classe C^{2} (hipótese padrão para falar de curvatura), podemos derivar \varphi. Usando a regra da derivada da norma ao quadrado, obtemos
\varphi'(s)=2\big(\alpha(s)-a\big)\cdot\alpha'(s),
onde \cdot denota o produto escalar em \mathbb{R}^2.

Passo 3

Como s_0 é ponto de máximo de \varphi, vale \varphi'(s_0)=0. Logo
\big(\alpha(s_0)-a\big)\cdot\alpha'(s_0)=0.
Explicação: isso significa que o vetor \alpha(s_0)-a é ortogonal ao vetor tangente \alpha'(s_0). Como \alpha é parametrizada por comprimento de arco, podemos chamar T(s)=\alpha'(s) o versor tangente, com |T(s)|=1.

Passo 4

Introduzimos a normal e a curvatura (conceitos fundamentais):
  • Defina T(s)=\alpha'(s) (vetor tangente unitário).
  • A derivada segunda satisfaz \alpha''(s)=\kappa(s)\,n(s), onde n(s) é a normal unitária e \kappa(s) é a curvatura (escalar, com sinal dependendo da orientação). Esta é a fórmula padrão para curvas parametrizadas por comprimento de arco: a componente de aceleração está na direção normal e tem magnitude igual à curvatura.
    Comentário didático: \kappa(s) mede o quanto a curva “vira” por unidade de comprimento; \alpha''(s) aponta para a normal e tem módulo |\kappa(s)|.

Passo 5

Calcule a segunda derivada de \varphi. Derivando \varphi'(s)=2(\alpha(s)-a)\cdot\alpha'(s) obtemos
\varphi''(s)=2\big(\alpha'(s)\cdot\alpha'(s)+(\alpha(s)-a)\cdot\alpha''(s)\big).
Como |\alpha'(s)|=1, tem-se \alpha'(s)\cdot\alpha'(s)=1, então
\varphi''(s)=2\big(1+(\alpha(s)-a)\cdot\alpha''(s)\big).
No ponto de máximo s_0 temos \varphi''(s_0)\le 0. Portanto
1+(\alpha(s_0)-a)\cdot\alpha''(s_0)\le 0.

Passo 6

Use a ortogonalidade do Passo 3 para escrever \alpha(s_0)-a na direção da normal: existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
\alpha(s_0)-a=\lambda\,n(s_0).
Note que |\lambda|=\left|\alpha(s_0)-a\right|. Substituindo \alpha''(s_0)=\kappa(s_0)\,n(s_0) nessa expressão,
(\alpha(s_0)-a)\cdot\alpha''(s_0)=\lambda\,\kappa(s_0).
Então a desigualdade do Passo 5 fica
1+\lambda\,\kappa(s_0)\le 0\quad\Longrightarrow\quad \lambda\,\kappa(s_0)\le -1.

Passo 7

Tome valores absolutos na desigualdade \lambda\,\kappa(s_0)\le -1. Como |\lambda|=\left|\alpha(s_0)-a\right|, obtemos
|\lambda|\,|\kappa(s_0)|\ge 1.
Logo
|\kappa(s_0)|\ge \frac{1}{|\lambda|}=\frac{1}{\left|\alpha(s_0)-a\right|}.
Isto é exatamente a desigualdade pedida. Intuição geométrica rápida: no ponto mais distante de a a curva precisa ter curvatura pelo menos igual ao recíproco da distância, caso contrário a curva poderia se afastar mais de a (contradição com maximalidade).

Resposta

\left|\kappa\left(s_{0}\right)\right| \geq \frac{1}{\left|\alpha\left(s_{0}\right)-a\right|}

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