Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva parametrizada regular (não necessariamente pelo comprimento de arco) e seja \beta: J \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma reparametrização de \alpha(I) pelo comprimento de arco s=s(t), medido a partir de t_{0} \in I. Seja t=t(s) a função inversa de s e faça d \alpha / d t=\alpha^{\prime}, d^{2} \alpha / d t^{2}=\alpha^{\prime \prime}, etc. Prove que: \frac{d t}{d s}=\frac{1}{\left|\alpha^{\prime}\right|}, \quad \frac{d^{2} t}{d s^{2}}=-\frac{\alpha^{\prime} \cdot \alpha^{\prime \prime}}{\left|\alpha^{\prime}\right|^{4}}.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (resumido e claro):
Há uma curva regular \alpha:I\to\mathbb{R}^3. Regular significa \alpha'(t)\neq 0 para todo t\in I.
Define-se o comprimento de arco a partir de t_0\in I por
s(t)=\int_{t_0}^{t}\bigl|\alpha'(u)\bigr|\,du.
A função s(t) é estritamente crescente (porque \bigl|\alpha'(t)\bigr|>0), portanto tem inversa t=t(s) definida em algum intervalo J.
Notação dada: \alpha'=\dfrac{d\alpha}{dt}, \alpha''=\dfrac{d^2\alpha}{dt^2}, etc.
O que nos pedem provar:
Derivar s(t) em relação a t usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Por definição,
s(t)=\int_{t_0}^{t}\bigl|\alpha'(u)\bigr|\,du.
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a função integranda contínua \bigl|\alpha'(u)\bigr|, obtemos
\frac{ds}{dt}=\bigl|\alpha'(t)\bigr|.
Como \alpha é regular, \bigl|\alpha'(t)\bigr|>0 para todo t, então s(t) é estritamente crescente e possui inversa differentiável t(s) (teorema da função inversa em 1D).
Passo 3
Obter \dfrac{dt}{ds} pela relação recíproca de derivadas de funções inversas:
Para funções inversas vale \dfrac{ds}{dt}\cdot\dfrac{dt}{ds}=1.
Como \dfrac{ds}{dt}=\bigl|\alpha'(t)\bigr|, invertemos:
\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|}.
Isto prova a primeira identidade pedida.
Passo 4
Preparar a diferenciação para obter \dfrac{d^2t}{ds^2}:
Queremos derivar \dfrac{dt}{ds}=\dfrac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|} em relação a s. Use a regra da cadeia (diferenciando uma função de t em relação a s):
Isto é exatamente a segunda identidade pedida. Note que a regularidade garante que não dividimos por zero.
Passo 8
Comentário final e intuição rápida:
A primeira igualdade vem direto do fato de que o comprimento de arco cresce à taxa \bigl|\alpha'(t)\bigr|. Inverter essa taxa dá \dfrac{dt}{ds}.
A segunda resulta de aplicar a regra da cadeia e diferenciar a norma de \alpha', usando que \dfrac{d}{dt}\bigl|\alpha'\bigr|=\dfrac{\alpha'\cdot\alpha''}{\bigl|\alpha'\bigr|}.
Tudo depende apenas de regras básicas (teorema fundamental do cálculo, regra da cadeia, derivada de raiz/quadrado e produto escalar), e da hipótese de regularidade que evita singularidades.