Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva parametrizada regular (não necessariamente pelo comprimento de arco) e seja \beta: J \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma reparametrização de \alpha(I) pelo comprimento de arco s=s(t), medido a partir de t_{0} \in I. Seja t=t(s) a função inversa de s e faça d \alpha / d t=\alpha^{\prime}, d^{2} \alpha / d t^{2}=\alpha^{\prime \prime}, etc. Prove que:
\frac{d t}{d s}=\frac{1}{\left|\alpha^{\prime}\right|}, \quad \frac{d^{2} t}{d s^{2}}=-\frac{\alpha^{\prime} \cdot \alpha^{\prime \prime}}{\left|\alpha^{\prime}\right|^{4}}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (resumido e claro):
  • Há uma curva regular \alpha:I\to\mathbb{R}^3. Regular significa \alpha'(t)\neq 0 para todo t\in I.
  • Define-se o comprimento de arco a partir de t_0\in I por
s(t)=\int_{t_0}^{t}\bigl|\alpha'(u)\bigr|\,du.
  • A função s(t) é estritamente crescente (porque \bigl|\alpha'(t)\bigr|>0), portanto tem inversa t=t(s) definida em algum intervalo J.
  • Notação dada: \alpha'=\dfrac{d\alpha}{dt}, \alpha''=\dfrac{d^2\alpha}{dt^2}, etc.
    O que nos pedem provar:
  • \dfrac{dt}{ds}=\dfrac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|}.
  • \dfrac{d^2t}{ds^2}=-\dfrac{\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|^{4}}.

Passo 2

Derivar s(t) em relação a t usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
  • Por definição,
s(t)=\int_{t_0}^{t}\bigl|\alpha'(u)\bigr|\,du.
  • Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo para a função integranda contínua \bigl|\alpha'(u)\bigr|, obtemos
\frac{ds}{dt}=\bigl|\alpha'(t)\bigr|.
  • Como \alpha é regular, \bigl|\alpha'(t)\bigr|>0 para todo t, então s(t) é estritamente crescente e possui inversa differentiável t(s) (teorema da função inversa em 1D).

Passo 3

Obter \dfrac{dt}{ds} pela relação recíproca de derivadas de funções inversas:
  • Para funções inversas vale \dfrac{ds}{dt}\cdot\dfrac{dt}{ds}=1.
  • Como \dfrac{ds}{dt}=\bigl|\alpha'(t)\bigr|, invertemos:
\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|}.
Isto prova a primeira identidade pedida.

Passo 4

Preparar a diferenciação para obter \dfrac{d^2t}{ds^2}:
  • Queremos derivar \dfrac{dt}{ds}=\dfrac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|} em relação a s. Use a regra da cadeia (diferenciando uma função de t em relação a s):
\frac{d^2t}{ds^2}=\frac{d}{ds}\!\left(\frac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|}\right) = \frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|}\right)\cdot\frac{dt}{ds}.
  • Já conhecemos \dfrac{dt}{ds}=\dfrac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|}, então falta calcular \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|}\right).

Passo 5

Calcular \dfrac{d}{dt}\bigl|\alpha'(t)\bigr| (derivada da norma):
  • Escreva \bigl|\alpha'(t)\bigr|=\sqrt{\alpha'(t)\cdot\alpha'(t)}.
  • Diferenciando em t usando regra da cadeia e a linearidade da derivada do produto escalar,
\frac{d}{dt}\bigl|\alpha'(t)\bigr| =\frac{d}{dt}\sqrt{\alpha'\cdot\alpha'} =\frac{1}{2\sqrt{\alpha'\cdot\alpha'}}\cdot 2\,\alpha'\cdot\alpha'' =\frac{\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|}.
  • Esta fórmula é válida porque \bigl|\alpha'(t)\bigr|>0 (regularidade) evitando divisão por zero.

Passo 6

Calcular \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|}\right) usando a regra da derivada do recíproco:
  • Se g(t)=\bigl|\alpha'(t)\bigr|, então \dfrac{d}{dt}\left(g^{-1}\right)=-g^{-2}g'.
  • Aplicando com g'=\dfrac{\alpha'\cdot\alpha''}{\bigl|\alpha'\bigr|} (do passo anterior),
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|}\right) = -\frac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|^{2}}\cdot\frac{\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|} = -\frac{\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|^{3}}.

Passo 7

Combinar tudo para obter \dfrac{d^2t}{ds^2}:
  • Volte à expressão do passo 4:
\frac{d^2t}{ds^2} = \frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|}\right)\cdot\frac{dt}{ds}.
  • Substituindo a derivada encontrada no passo 6 e \dfrac{dt}{ds}=\dfrac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|},
\frac{d^2t}{ds^2} = \left(-\frac{\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|^{3}}\right)\cdot\frac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|} = -\frac{\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|^{4}}.
  • Isto é exatamente a segunda identidade pedida. Note que a regularidade garante que não dividimos por zero.

Passo 8

Comentário final e intuição rápida:
  • A primeira igualdade vem direto do fato de que o comprimento de arco cresce à taxa \bigl|\alpha'(t)\bigr|. Inverter essa taxa dá \dfrac{dt}{ds}.
  • A segunda resulta de aplicar a regra da cadeia e diferenciar a norma de \alpha', usando que \dfrac{d}{dt}\bigl|\alpha'\bigr|=\dfrac{\alpha'\cdot\alpha''}{\bigl|\alpha'\bigr|}.
  • Tudo depende apenas de regras básicas (teorema fundamental do cálculo, regra da cadeia, derivada de raiz/quadrado e produto escalar), e da hipótese de regularidade que evita singularidades.

Resposta

\dfrac{dt}{ds}=\dfrac{1}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|}
\dfrac{d^{2}t}{ds^{2}}=-\dfrac{\alpha'(t)\cdot\alpha''(t)}{\bigl|\alpha'(t)\bigr|^{4}}

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