Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva parametrizada regular (não necessariamente pelo comprimento de arco) e seja \beta: J \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma reparametrização de \alpha(I) pelo comprimento de arco s=s(t), medido a partir de t_{0} \in I. Seja t=t(s) a função inversa de s e faça d \alpha / d t=\alpha^{\prime}, d^{2} \alpha / d t^{2}=\alpha^{\prime \prime}, etc. Prove que:
Se \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{2} é uma curva plana \alpha(t)=(x(t), y(t)), a curvatura com sinal de \alpha em t é
k(t)=\frac{x^{\prime} y^{\prime \prime}-x^{\prime \prime} y^{\prime}}{\left(\left(x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametrizada regular \alpha:I\to\mathbb{R}^2 com \alpha(t)=(x(t),y(t)). Também é dada a reparametrização por comprimento de arco s, medida a partir de t_0, de modo que s=s(t) e exista a inversa t=t(s).
O que se pede: mostrar que a curvatura com sinal da curva em t pode ser escrita como
k(t)=\frac{x'(t)\,y''(t)-x''(t)\,y'(t)}{\bigl((x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}\bigr)^{3/2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado que vamos usar (não farei ainda nenhum cálculo neste passo):
  • \alpha'(t)=\dfrac{d\alpha}{dt}, \alpha''(t)=\dfrac{d^{2}\alpha}{dt^{2}}.
  • s=s(t) é comprimento de arco a partir de t_{0}, portanto ds/dt=\|\alpha'(t)\|.
  • t=t(s) é a inversa, então dt/ds=1/\|\alpha'(t)\|.

Passo 2

Vamos relacionar as derivadas em função do parâmetro t com as derivadas em função do comprimento de arco s. Esta é a parte técnica chave; faço devagar e explico cada passo.
Defina, para fixar notação, o vetor velocidade em t:
v(t)=\alpha'(t)=(x'(t),y'(t)),
e a aceleração
a(t)=\alpha''(t)=(x''(t),y''(t)).
Como s é o comprimento de arco, por definição
\frac{ds}{dt}=\|v(t)\|.
Isso significa que
\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\|v(t)\|}.
Agora a derivada de \alpha em relação a s (isto é, para a reparametrização por comprimento de arco) é, por regra da cadeia,
\alpha_s'(s)=\frac{d\alpha}{ds}=\frac{d\alpha}{dt}\cdot\frac{dt}{ds}=\frac{v(t)}{\|v(t)\|}.
Observação didática: \alpha_s'(s) é o vetor tangente unitário \mathbf{T}(s), pois \|\alpha_s'(s)\|=1.

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada em relação a s, ou seja \alpha_s''(s)=d^2\alpha/ds^2. Usamos a regra da cadeia e derivação de quociente com cuidado.
Começamos com
\alpha_s'(s)=\frac{v(t)}{\|v(t)\|}.
Derivando em relação a s e aplicando a regra da cadeia:
\alpha_s''(s)=\frac{d}{ds}\left(\frac{v(t)}{\|v(t)\|}\right) =\frac{d}{dt}\left(\frac{v(t)}{\|v(t)\|}\right)\cdot\frac{dt}{ds}.
Calcule a derivada em t:
\frac{d}{dt}\left(\frac{v}{\|v\|}\right) =\frac{v'\,\|v\|-v\,\dfrac{d}{dt}\|v\|}{\|v\|^{2}} =\frac{\|v\|\,a - v\,\dfrac{d}{dt}\|v\|}{\|v\|^{2}}.
Mas
\frac{d}{dt}\|v\|=\frac{d}{dt}\sqrt{v\cdot v}=\frac{v\cdot v'}{\|v\|}=\frac{v\cdot a}{\|v\|}.
Substituindo e multiplicando por dt/ds=1/\|v\|, obtemos
\alpha_s''(s) =\frac{\|v\|\,a - v\,\dfrac{v\cdot a}{\|v\|}}{\|v\|^{2}}\cdot\frac{1}{\|v\|} =\frac{\|v\|\,a - v\,\dfrac{v\cdot a}{\|v\|}}{\|v\|^{3}}.
Para simplificar a aparência, podemos escrever de forma equivalente
\alpha_s''(s)=\frac{\|v\|^{2}a - v\,(v\cdot a)}{\|v\|^{4}},
mas a forma útil para os próximos passos é
\alpha_s''(s)=\frac{\|v\|\,a - v\,\dfrac{v\cdot a}{\|v\|}}{\|v\|^{3}}.
Breve comentário intuitivo: essa expressão mostra que \alpha_s''(s) é a parte de a que é ortogonal a v (ou seja, a componente normal), normalizada pelo fator \|v\|^{3}. Isso faz sentido: a curva reparametrizada por arco só “sente” a componente normal da aceleração como curvatura.

Passo 4

Queremos a curvatura com sinal. Em plano, uma maneira conveniente de escrever a curvatura assinada é usando o determinante entre o vetor tangente e sua derivada: para a parametrização por comprimento de arco vale
k(s)=\det\!\bigl(\alpha_s'(s),\,\alpha_s''(s)\bigr).
Explico por que isto vale: para parametrização por arco \|\alpha_s'\|=1, a segunda derivada \alpha_s'' é ortogonal a \alpha_s' e tem norma igual à curvatura |k|. Escolhendo a orientação usual no plano, o determinante \det(\alpha_s',\alpha_s'') \pm\|\alpha_s''\| com o sinal correspondente ao sentido de curvatura (para a base orientada (\mathbf{T},\mathbf{N}) tem-se \det(\mathbf{T},\mathbf{N})=1), logo \det(\alpha_s',\alpha_s'')=k(s). (Isto é a definição prática da curvatura com sinal.)
Agora calculamos \det(\alpha_s'(s),\alpha_s''(s)) em termos de v e a. Substituindo as expressões obtidas:
\det\!\bigl(\alpha_s'(s),\alpha_s''(s)\bigr) =\det\!\left(\frac{v}{\|v\|},\;\frac{\|v\|\,a - v\,\dfrac{v\cdot a}{\|v\|}}{\|v\|^{3}}\right).
Usando linearidade do determinante em cada coluna e lembrando que \det(v,\,v(\cdot))=0 (determinante com colunas proporcionais é zero), a parte com v\,(v\cdot a) desaparece. Resta
\det\!\bigl(\alpha_s'(s),\alpha_s''(s)\bigr) =\frac{1}{\|v\|^{4}}\det\!\bigl(v,\|v\|\,a\bigr) =\frac{\|v\|}{\|v\|^{4}}\det(v,a) =\frac{\det(v,a)}{\|v\|^{3}}.
Portanto obtivemos a relação importante que vale para qualquer parâmetro t:
\det\!\bigl(\alpha_s'(s),\alpha_s''(s)\bigr)=\frac{\det\!\bigl(\alpha'(t),\alpha''(t)\bigr)}{\|\alpha'(t)\|^{3}}.

Passo 5

Como visto, para parametrização por comprimento de arco a curvatura com sinal é
k(s)=\det\!\bigl(\alpha_s'(s),\alpha_s''(s)\bigr).
Usando a identidade do passo anterior, podemos escrever a curvatura (agora como função do parâmetro original t) por
k(t)=\frac{\det\!\bigl(\alpha'(t),\alpha''(t)\bigr)}{\|\alpha'(t)\|^{3}}.
Agora traduzimos isso para componentes: escrevendo \alpha'(t)=(x'(t),y'(t)) e \alpha''(t)=(x''(t),y''(t)), o determinante em \mathbb{R}^{2} é
\det\!\bigl(\alpha'(t),\alpha''(t)\bigr)= \begin{vmatrix} x'(t) & x''(t)\\[4pt] y'(t) & y''(t) \end{vmatrix} = x'(t)\,y''(t)-x''(t)\,y'(t).
E a norma \|\alpha'(t)\| é
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}.
Substituindo na fórmula geral do passo anterior, obtemos a expressão desejada:
k(t)=\frac{x'(t)\,y''(t)-x''(t)\,y'(t)} {\bigl((x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}\bigr)^{3/2}}.]

Resposta

k(t)=\frac{x'(t)\,y''(t)-x''(t)\,y'(t)}{\bigl((x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}\bigr)^{3/2}}

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