Seja \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva parametrizada regular (não necessariamente pelo comprimento de arco) e seja \beta: J \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma reparametrização de \alpha(I) pelo comprimento de arco s=s(t), medido a partir de t_{0} \in I. Seja t=t(s) a função inversa de s e faça d \alpha / d t=\alpha^{\prime}, d^{2} \alpha / d t^{2}=\alpha^{\prime \prime}, etc. Prove que:
Se \alpha: I \rightarrow \mathbb{R}^{2} é uma curva plana \alpha(t)=(x(t), y(t)), a curvatura com sinal de \alpha em t é
O enunciado dá uma curva parametrizada regular \alpha:I\to\mathbb{R}^2 com \alpha(t)=(x(t),y(t)). Também é dada a reparametrização por comprimento de arco s, medida a partir de t_0, de modo que s=s(t) e exista a inversa t=t(s).
O que se pede: mostrar que a curvatura com sinal da curva em t pode ser escrita como
s=s(t) é comprimento de arco a partir de t_{0}, portanto ds/dt=\|\alpha'(t)\|.
t=t(s) é a inversa, então dt/ds=1/\|\alpha'(t)\|.
Passo 2
Vamos relacionar as derivadas em função do parâmetro t com as derivadas em função do comprimento de arco s. Esta é a parte técnica chave; faço devagar e explico cada passo.
Defina, para fixar notação, o vetor velocidade em t:
v(t)=\alpha'(t)=(x'(t),y'(t)),
e a aceleração
a(t)=\alpha''(t)=(x''(t),y''(t)).
Como s é o comprimento de arco, por definição
\frac{ds}{dt}=\|v(t)\|.
Isso significa que
\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\|v(t)\|}.
Agora a derivada de \alpha em relação a s (isto é, para a reparametrização por comprimento de arco) é, por regra da cadeia,
Observação didática: \alpha_s'(s) é o vetor tangente unitário \mathbf{T}(s), pois \|\alpha_s'(s)\|=1.
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada em relação a s, ou seja \alpha_s''(s)=d^2\alpha/ds^2. Usamos a regra da cadeia e derivação de quociente com cuidado.
Começamos com
\alpha_s'(s)=\frac{v(t)}{\|v(t)\|}.
Derivando em relação a s e aplicando a regra da cadeia:
Breve comentário intuitivo: essa expressão mostra que \alpha_s''(s) é a parte de a que é ortogonal a v (ou seja, a componente normal), normalizada pelo fator \|v\|^{3}. Isso faz sentido: a curva reparametrizada por arco só “sente” a componente normal da aceleração como curvatura.
Passo 4
Queremos a curvatura com sinal. Em plano, uma maneira conveniente de escrever a curvatura assinada é usando o determinante entre o vetor tangente e sua derivada: para a parametrização por comprimento de arco vale
Explico por que isto vale: para parametrização por arco \|\alpha_s'\|=1, a segunda derivada \alpha_s'' é ortogonal a \alpha_s' e tem norma igual à curvatura |k|. Escolhendo a orientação usual no plano, o determinante \det(\alpha_s',\alpha_s'') dá \pm\|\alpha_s''\| com o sinal correspondente ao sentido de curvatura (para a base orientada (\mathbf{T},\mathbf{N}) tem-se \det(\mathbf{T},\mathbf{N})=1), logo \det(\alpha_s',\alpha_s'')=k(s). (Isto é a definição prática da curvatura com sinal.)
Agora calculamos \det(\alpha_s'(s),\alpha_s''(s)) em termos de v e a. Substituindo as expressões obtidas:
Usando linearidade do determinante em cada coluna e lembrando que \det(v,\,v(\cdot))=0 (determinante com colunas proporcionais é zero), a parte com v\,(v\cdot a) desaparece. Resta