Seja \alpha:(a, b) \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma curva parametrizada regular plana. Suponha que existe t_{0}, a<t_{0}<b, tal que a distância |\alpha(t)| do traço de \alpha à origem seja máxima em t_{0}. Prove que a curvatura k de \alpha em t_{0} satisfaz
O enunciado dá uma curva regular plana \alpha:(a,b)\to\mathbb{R}^2 e um ponto t_0\in(a,b) tal que a função distância t\mapsto |\alpha(t)| atinge um máximo em t_0. O que se pede é provar a desigualdade
Regularidade significa \left|\alpha'(t)\right|>0 para todo t, em particular em t_0.
Em t_0 a distância ao origem é máxima, portanto derivadas primeiras/segundas da função distância verificam condições que vamos usar.
Passo 2
Definimos a função auxiliar f(t)=\tfrac{1}{2}\big|\alpha(t)\big|^{2}. Esta escolha é conveniente porque f é suave e tem derivadas simples em termos de \alpha. Calculemos f'(t):
f'(t)=\alpha(t)\cdot\alpha'(t).
Como \big|\alpha(t)\big| tem máximo em t_0, f também tem máximo em t_0. Logo
Isto significa geometricamente que o vetor posição \alpha(t_0) é ortogonal à velocidade \alpha'(t_0): a reta tangente em t_0 é perpendicular ao vetor radial que vai da origem ao ponto \alpha(t_0).
Agora introduzimos conceitos básicos sobre curvatura, explicando devagarinho. Defina a velocidade (módulo da derivada)
v(t)=\big|\alpha'(t)\big|>0,
e o versor tangente
T(t)=\frac{\alpha'(t)}{v(t)}.
A curvatura k(t) é definida (para curvas regulares planas) pela variação do versor tangente em relação ao comprimento de arco s:
\frac{dT}{ds}=k\,N,
onde N(t) é o versor normal unitário (ortogonal a T). Passando da derivada em s para a derivada em t usa-se \dfrac{d}{dt}=\dfrac{ds}{dt}\dfrac{d}{ds}=v(t)\dfrac{d}{ds}. Assim
\frac{dT}{dt}=k(t)\,v(t)\,N(t).
Agora escrevemos a segunda derivada da curva em termos de T e N. Como \alpha'(t)=v(t)T(t), derivando:
Cada termo tem significado: v'(t)T(t) altera a rapidez ao longo da tangente; k v^2 N é a parte normal ligada à curvatura.
Passo 5
No ponto t_0 já sabemos que \alpha(t_0) é ortogonal a T(t_0), isto é \alpha(t_0)\cdot T(t_0)=0. Então, tomando produto escalar com \alpha(t_0) na expressão de \alpha'' obtemos
Como \alpha(t_0) é ortogonal a T, ele é paralelo a N; portanto \alpha(t_0)\cdot N(t_0)=\pm\big|\alpha(t_0)\big|. Escrevendo esse sinal como \varepsilon\in\{+1,-1\} temos
Se \varepsilon=+1 então k(t_0)\le -\dfrac{1}{\big|\alpha(t_0)\big|}. Se \varepsilon=-1 então k(t_0)\ge \dfrac{1}{\big|\alpha(t_0)\big|}. Em ambos os casos concluímos que o valor absoluto satisfaz
Breve comentário intuitivo (papo de amigo): geometricamente, num ponto mais distante do centro, a curva tem que curvar pelo menos tanto quanto uma circunferência de raio |\alpha(t_0)|; por isso a curvatura não pode ser menor que 1/|\alpha(t_0)|. Isso é exatamente o que provámos formalmente acima.